Unidad Didactica 2

M

M

at
e

UP

UP

es v´alido.

∀n ∈ N [P (n)]

at

e

M

P (1), ∀k ∈ N [P (k) → P (k + 1)]

M

at
e

1

1

Principio de Inducci´
on. Para todo predicado P si P (1) es verdadero y se puede mostrar que
P (k) implica P (k + 1) para cualquier k ∈ N entonces podemos concluir que P (n) es verdadero para todo n ∈ N. An´alogamente, este principio se puede expresar diciendo que para todo
predicado P elargumento

1

Recordemos que el conjunto de n´
umeros naturales se define por N = {1, 2, 3, ...} y el conjunto
de n´
umeros enteros por Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

En una prueba por inducci´on la parte en donde mostramos que ∀ k ∈ N, [P (k) → P (k + 1)]
se suele llamar el paso inductivo y nos referimos a P (k) como la hip´otesis inductiva.

UP

Ejemplo 1.1. Demuestre que 5n − 1 es m´
ultiplode 4 para todo n ≥ 1.

UP

Soluci´on.-. Para k = 1 vemos que 51 − 1 = 4 = 4 · 1, es decir, es un m´
ultiplo de 4. Si es cierto
para k demostramos que es cierto para k + 1. Asumimos entonces que 5k − 1 = 4 · m. Luego

e

1
M

Sumatorias

at

at
e

1
2.

1

5k+1 − 1 = 5 · 5k − 1 = (4 + 1)5k − 1 = 4 · 5k + 5k − 1 = 4 · 5k + 4 · m = 4(5k + m)

at
e

M

Definici´
on 2.1. Una sucesi´
on es una funci´oncuyo dominio es N. Si f : N → B es una sucesi´on
escribimos an = f (n). La sucesi´on tambi´en se puede expresar como (a1 , a2 , a3 , ...) o de forma
m´as compacta como (an )n∈N . El rango de esta funci´on es el conjunto de todos los elementos en
la sucesi´on y podemos denotarlo por {an }n∈N .
Ejemplo 2.2. Si an = n la sucesi´on es (1, 2, 3, ...). Si bn = 1/n esta sucesi´on es

1 1
1, , , ... .
23

1

k=1

at
M

at
e
1

e

c 2015 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

1

at
e

UP

ak = a1 + a2 + · · · + an .

sn =

1

UP

Definici´
on 2.3. Si (ak )k∈N es una sucesi´on entonces definimos la sumatoria de los primeros
n t´erminos como
n

M

M

M

2015-2

Definici´
on

at
e

M

´n
Clases 5: Induccio

Matem´aticas I

1.

at
e

1

Manual de imagenUniversidad del Pacífico

at
e

1

Logotipo institucional

at
e

1
at
e

1

at
e

M

” es cierto para todo n ∈ N.

M

k(k + 1) 2(k + 1)
k(k + 1)
+ (k + 1) =
+
2
2
2
(k + 1)((k + 1) + 1)
(k + 1)(k + 2)
=
.
=
2
2

1

UP

UP

1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =

1

n

1

e

(2k − 1) = n2 .

Ejercicio 2.5. Demuestre que

at

at
e

k=1

M

M

Observaci´on 2.6. Si bien usualmente empezamos todo argumento inductivoprobando P (1) es
posible empezar probando P (m) donde m es cualquier n´
umero entero fijo. Si el argumento
inductivo es v´alido entonces P (n) ser´a verdadero para todo n ∈ Z tal que n ≥ m. Esto significa
que el conjunto universal es U = {m, m + 1, m + 2, ...}. El conjunto universal tambi´en puede
ser el conjunto de todos los naturales pares o todo los naturales impares. En estos casos el pasoinductivo requiere probar P (k) → P (k + 2) para todo k ∈ U .
Ejemplo 2.7. Muestre que
n

1 − xn+1
1−x

k=0

para todo n ≥ 0 donde x = 1.

k=0

M

Asumiendo que el enunciado es cierto para n = k ahora vemos que

1 − xk+1
1 − xk+1 + xk+1 − xk+2
1 − x(k+1)+1
+ xk+1 =
=
1−x
1−x
1−x

M

1 + x + · · · + xk + xk+1 =

e

1−x
.
1−x

at
e

xk = 1 =

at

1

0

1

Soluci´on. Para n = 0 verificamos que

1

UP

UPxk = 1 + x + x2 + · · · + xn =

at
e

lo cual nos dice que el enunciado es cierto para n = k + 1.

Definiciones Inductivas

UP

3.

e
at

2

M

at
e

at
e

1

1

Definici´
on 3.1. El factorial de un n´
umero natural n se representa por n! y se define inductivamente por 1! = 1 y (k + 1)! = (k + 1)k!.

1

UP

El principio de inducci´on no s´olo se puede usar para demostrar un enunciado sinotambi´en
para definir sucesiones. A este tipo de definici´on se le suele llamar definici´
on inductiva o
recursiva. A continuaci´on mostramos algunos ejemplos.

M

M

M

n(n+1)
2

Soluci´on. Para usar el principio de inducci´on primero mostramos que P (1) es verdadero. En
efecto, por un lado la “suma” del primer n´
umero natural es 1. Por otro lado 1(1+1)
= 1 y como
2
ambas expresiones coinciden P (1)...