unidad1

Unidad I
Ecuaciones diferenciales de
primer orden

1.1.
Teoría Preliminar

Definiciones de Ecuaciones
Diferenciales
› Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o
más variables dependientes con respecto a una o más variables
independientes, se dice que es una ecuación diferencial.
𝒅𝒚
= 𝟐𝒙 + 𝟑
𝒅𝒙
› Es la ecuación que contiene integrales o derivadas en suestructura
como por ejemplo:

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒄

Definiciones de Ecuaciones
Diferenciales
› Es una ecuación (igualdad) que contiene
diferenciales o derivadas de una o más
funciones.
𝑓𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
= 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡

¿Donde se Aplica?
› Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas.
› El algebra es suficiente para resolver muchos problemasestáticos pero la
mayoría de los fenómenos naturales mas interesantes involucran cambios
descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambia

Problemas o
fenómenos
estáticos

𝑣=

𝑑
𝑡

𝑎𝑟𝑒𝑎
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 = 𝐸 = 𝑚𝑐 2

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝐼=

𝑄
𝑡

ℎ𝑢𝑟𝑎𝑐𝑎𝑛𝑒𝑠
Problemas o
fenómenos
dinámicos

𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑙𝑙𝑢𝑣𝑖𝑎

Metas principales de las ED
1. Descubrir la ecuación diferencial que describe
unasituación física especifica.
2. Encontrar exacta o aproximadamente la
solución exacta de esa ecuación apropiada.
3. Interpretar la solución encontrada.

Ejemplos:
› La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera.

› La razón de cambio respecto del tiempo (t) de la temperatura (T) de un
cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y latemperatura del medio ambiente (A).
𝒅𝑻
= 𝒌(𝑻 − 𝑨)
𝒅𝒕

Ejemplos:
› La ley de Torricelli establece que la razón de cambio respecto el tiempo de
un volumen (V) de agua de un tanque de drenado es proporcional a la raíz
cuadrada de la profundidad (y) del agua en el tanque.
𝒅𝑽
= −𝒌 𝒚
𝒅𝒕

Ejemplos:
› La razón de cambio con respecto del tiempo, de una
población (𝑃) con tasa de natalidad ymortalidad
constantes, es en muchos casos sencillos, proporcional al
tamaño de la población.
𝒅𝑷
= 𝒌𝑷
𝒅𝒕

Orden
› El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de
mayor orden que intervienen en ella.
3

 dy 
5
   7x  8
 dx 
– Solución: Es una Ecuación Diferencial de PRIMER ORDEN, dado que tiene
una primera derivada.

d2y
 2   5 sen 2 x
 dx 

– Solución: Es una Ecuación Diferencial de SEGUNDO ORDEN, porque
aparece una segunda derivada.

Ejemplos:
2

d y
 d 2 y   dy 
 4   4 2      5 x 2  9
 dx 
 dx 



  dx 
4

5

› Solución: Es una Ecuación Diferencial de CUARTO ORDEN, porque la cuarta derivada es la
de mayor orden de las que aparecen en la ecuación.

d y
d y
 dy 
2
 2   8 x  x   2 
 dx 
 dx 
dx 





2

6

2

3

› Solución: Es una Ecuación Diferencial de SEGUNDO ORDEN, dada que la segunda
derivada es la de mayor orden en la ecuación.

Grado de una ED:
› Es el exponente al que está elevada la derivada de mayor
orden que hay en la ecuación diferencial.
4

 dy 
5
   9x  8 y
 dx 

› Solución: la Ecuación Diferencial esde PRIMER ORDEN,
dado que tiene una primera derivada y es de CUARTO
GRADO, dado que la primer derivada está elevada a la
cuarta potencia.

Ejemplos de Grado:
dy
 7x2  1
dx
› Solución: Como la derivada se encuentra dentro de una raíz
cuadrada, tendremos que eliminarla levando al cuadrado ambos
lados de la ecuación.
› Elevando al cuadrado:

 dy

2


 dx  7 x  1

2

› Se obtiene una Ecuación diferencial de 1er. ORDEN y 1er. GRADO





2
dy
2
 7x 1
dx

Ejercicios:
d2y
dy
x 3
2
dx
dx
 d y
dy 


x 3
 dx 2
dx 


2

3

6

d y
  dy 
 2  x   
 dx


  dx 
2

2

Se obtiene una Ecuación diferencial de 2º. ORDEN y 3er. GRADO

Ejemplo
 dy

 10 y 

 dx


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