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Algunos Resultados Sobre Límite de Funciones

A continuación daremos algunas de…niciones y resultados que pueden ser útiles para calcular límites de funciones De…nición 1 Diremos que el límite cuando x se aproxima a x0 de una función f (x) es el número L si y solo si, para cada númeron " > 0 es posible encontrar un número > 0 con la propiedad de que para cada x que satisfaga lasdesigualdades 0 < jx x0 j < se cumple la desigualdad jf (x) Lj < " La notación usada para indicar la existencia y valor de un límite es la siguiente lim f (x) = L
x!x0

Intuitivamente esta de…nición nos dice que una función tiene límite en x0 si los valores de la función f (x) se van aproximando al número L conforme los números x se aproxima a x0 . El establecer la existencia y el valor de un límite deuna función a partir de esta de…nición no es algo sencillo, sin embargo es posible demostrar que los límites de una función tienen las siguientes propiedades. Teorema 1 Si para las funciones g (x) y h (x) se sabe que
x!x0

lim g (x) = L y lim h (x) = M
x!x0

a) La función (g + h) (x) tiene límite cuando x se aproxima a x0 y
x!x0

lim (g + h) (x) = lim g (x) + lim h (x) = L + M
x!x0 x!x0b) La función (g
x!x0

h) (x) tiene límite cuando x se aproxima a x0 y h) (x) = lim g (x)
x!x0 x!x0

lim (g

lim h (x) = L

M

Teorema 2 Si para las funciones g (x) y h (x) se sabe que
x!x0

lim g (x) = L y lim h (x) = M
x!x0

Entonces,(gh) (x) teine límite cuando x se aproxima x0 y lim (gh) (x) = lim g (x) lim h (x) = LM

x!x0

x!x0

x!x0

1

Teorema 3 Si para lasfunciones g (x) y h (x) se sabe que
x!x0

lim g (x) = L y lim h (x) = M
x!x0

Y si además se cumple que
x!x0

lim h (x) = M 6= 0

Entonces

g h

(x) tiene límite cuando x se aproxima a x0 y lim lim g (x) g L x!x0 (x) = = h lim h (x) M
x!x0

x!x0

Para que este teorema nos sea de utílidad es necesario haber establecido de antemano los límites de las funciones g y h. Esto puede noser una tarea facil, sin embargo, hay dos tipos de funciones; las funciones constantes y la función identidad, para las cuales uno puede veri…car la existencia del límite, más precisamente. Teorema 4 a) Para cualquier constante c y para cada número x0 se tiene que la función constante f (x) c tiene límite cuando x se aproxima a x0 y
x!x0

lim c = c

b) Para cualquier número x0 la funciónidentidad, f (x) = x, tiene límite cuando x se aproxima a x0 y lim x = x0
x!x0

La siguiente serie de ejemplos nos muestra como aplicar los teoremas anteriores para estabelcer y cálcular una gran variedad de límites de funciones. Ejemplos 1) Veri…car que
x!3

lim 2x = 6

Por el teorema 4-a) y b) sabemos que
x!3

lim 2 = 2 y

x!3

lim x = 3

Por lo tanto podemos aplicar el Teorema 2para concluir que
x!3

lim 2x =

x!3

lim 2

x!3

lim x = 2 3 = 6

2) Veri…que que
x!3

lim x2 = 9

2

Por la Teorema 4-b) sabemos que
x!3

lim x = 3

y

x!3

lim x = 3

Por lo tanto podemos aplicar el Teorema 2 para obtener que
x!3

lim x2 =

x!3

lim x

x!3

lim x = 3 3 = 9

3) Veri…que que
x!3

lim x2 + 2x = 15

En los ejemplos 1 y 2 hemosestablecido que
x!3

lim x2 = 9

y

x!3

lim 2x = 6

por lo que podemos aplicar el Teorema 1-a) a las funciones g (x) = x2 y h (x) = 2x para concluir que
x!3

lim x2 + 2x =

x!3

lim x2 + lim 2x = 9 + 6 = 15
x!3

Siguiendo la linea de ideas usadas un los ejemplos 1) a 3) uno puede combinar los Teoremas 1 a 4 para calculár límites de una gran variedad de funciones. He aquí otros dosejemplos Ejemplos 4) Calculár
x! 1

lim 3x3

2x2 + 1

Usando los Teoremas 4 y 2 uno puede veri…car que
x! 1

lim 3 = 3; lim x3 = ( 1) ; lim 2 = 2; lim x2 = ( 1) y lim 1 = 1
x! 1 x! 1 x! 1 x! 1

3

2

Así que podemos usar nuevamente el Teorema 1 y 2 para deducir que lim 3x3 2x2 + 1 = lim 3
3

x! 1

x! 1

x! 1 2

lim x3

x! 1

lim 2

x! 1

lim x2

+

x! 1...