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Departamento de Economía 
 Aplicada  (Matemáticas) 
 
Grado en:  Economía 
  

1: TEORÍA DE FUNCIONES DERIVABLES
1.1. Introducción
1.2. Los espacios vectoriales Rn y Mmxn. Propiedades…………………………………..2
1.3. Funciones escalares y vectoriales…………………………………………………………..6
1.4. Derivabilidad Y derivadas parciales. Regla de la cadena…………………….11
1.5. Fórmula de Taylor. Funcioneshomogéneas………………………………………….20
1.6. Funciones implícitas……………………………………………………………………………..23

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GE

1.1- LOS ESPACIOS VECTORIALES Rn y Mmxn. PROPIEDADES
EL ESPACIO VECTORIAL Rn
Sea R el cuerpo de los números reales. Establezcamos el producto cartesiano:

R ä R ä…ä R
n veces (con n natural) y señalemos simbólicamente a este producto como Rn. Un elemento de este
conjunto seráde la forma:
(x1,x2,…,xn) œ Rn

donde cada xi œ R.

Lo escribimos:
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜x ⎟
x = ⎜ 2 ⎟ , por motivos de comodidad se suele utilizar x = (x1, x2,…,x n )
M
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠

Pues bien, vamos a definir sobre Rn dos operaciones:
1) La suma:

Rn ä Rn ö Rn
" x, y œ Rn ,
Es fácil comprobar que

x + y = (x1, x2,…, xn)+ (y1, y2,…, yn) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn)
n

con laoperación antes definida, verifica las siguientes propiedades:

•

Conmutativa: x + y = y + x

•

Asociativa: (x + y) + z = x + (y +z)

•

Elemento neutro: ∃ 0 = (0,0,….0) œ Rn tal que x + 0 = x

•

Elemento opuesto o simétrico: " x œ Rn ∃ (-x) œ Rn tal que x + (-x) = 0

2) El producto por un escalar:

RäRn ö Rn
de tal manera que "αœR, "xœRn:
α x =α (x1,x2,…,xn) = (α x1,α x2,…,α xn) œRn
Puede comprobarse que la operación así definida verifica las propiedades:
•

Pseudoasociativa α (β x) = (α β) x

•

Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β)x = α x + β x

•

Distributiva respecto a la suma de elementos de Rn : α (x + y) = α x + α y

•

Elemento unidad: 1.x = x

"α,β œ R, "x,y œ Rn y donde hemos denotado por 1 a la unidad del cuerpo de escalares,R.
Por tanto, (Rn,+,.( R))es un espacio vectorial, es decir, Rn con las operaciones antes dadas, tiene
estructura de Espacio Vectorial sobre R, y a sus elementos se les llama Vectores.
En la lección 3 volveremos a trabajar en este Espacio Vectorial. En el siguiente apartado trataremos
de recordar al lector algunas ideas básicas de la teoría de matrices. Los cuales serán de gran utilidad, tantoen nuestra disciplina como en otras análogas.

Francisca Miguel García

2

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GE

TEORÍA DE MATRICES
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

⎛ a11 a12 L a1n ⎞ →
⎜
⎟
⎜ a21 a22 L a2 n ⎟ →
A =⎜
Filas
L L L L⎟
⎜
⎟
⎜a
am 2 L amn ⎟ →
⎝ 444 2444⎠ 3
1m1
4
4

de la matrizColumnas de la matriz

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el
elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
1
0 ⎞
⎛3⎜
⎟
⎛ 6 1 0⎞
2 −4 0 ⎟
⎛2 1⎞
⎟ C =⎜
⎜
A =⎜
⎜ −1 1
⎜ 3 4⎟ B = ⎜
⎟
⎟
2⎟
⎝
⎠
5
⎝ 2 − 4 0⎠
⎜
⎟
⎜1
0
0 ⎟
⎝
⎠
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2.¿Qué elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3.¿Qué elemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3.¿Qué elemento es c42?.

En general, si unamatriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es mx n
(se lee “m por n”), siempre en primer lugar el número de filas y en segundo lugar el de columnas.
Tipos de matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
⎛0 0 0 0 0⎞
A =⎜
⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ es una matriz nula de tamaño 2x5.
⎟
⎝
⎠
2. Se llama matriz fila a...