Valor inical

Cap´ ıtulo 1 El problema de valor inicial

1.1.

El problema de valor inicial

Al modelizar problemas de la ciencia, la ingenier´ y la econom´ aparecen ıa ıa con frecuencia ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuaci´n diferencial oro dinaria (en adelante una EDO) es una relaci´n entre una funci´n de una variao o ble y sus derivadas. Nosotros nos centraremos en ecuaciones de primerorden (la derivada de mayor orden que aparece es la de orden uno) escritas en la forma est´ndar a y (x) = f (x, y(x)), a ≤ x ≤ b, (1.1)

donde f : [a, b] × Rd → Rd es continua. Una soluci´n de (1.1) en [a, b] es una o funci´n y : [a, b] → Rd , y ∈ C 1 ([a, b]) que satisface (1.1). En el caso vectorial, o d > 1, que se puede interpretar como un sistema de ecuaciones escalares, y y f tienen dcomponentes cada una, y = (y 1 , y 2 , . . . , y d )T , f = (f 1 , f 2 , . . . , f d )T .

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en general no define por 1

s´ s´lo una soluci´n unica, y se hace necesario a˜adir a la formulaci´n del ı o o ´ n o ´ problema un cierto n´mero de condiciones adicionales. Estas son o bien “conu diciones de frontera”, si la informaci´n adicional se da en dos om´s valores de o a x, o “condiciones iniciales”, si se especifican todas las condiciones de y en un unico valor de x. En este cap´ ´ ıtulo nos centraremos en el caso en que se dan condiciones iniciales, y dejaremos el caso en que se dan condiciones de fronuna soluci´n del problema de valor inicial (PVI) en [a, b], esto es, una funci´n o o y ∈ C 1 ([a, b]) que satisfaga y (x) = f (x, y(x)) para a ≤ x ≤b, y(a) = η. (1.2) tera para m´s adelante. As´ pues, dado η = (η 1 , η 2 , . . . , η d )T ∈ Rd , buscamos a ı

Como se puede ver en el siguiente ejemplo, algunos problemas de valor inicial tienen m´s de una soluci´n. a o Ejemplo. Consideramos la ecuaci´n diferencial y = |y|α sujeta a la condici´n o o inicial y(0) = 0, siendo α un n´mero real fijo, α ∈ (0, 1). Es facil comprobar u que paracualquier n´mero real no negativo c, u yc (x) = 0, (1 − α)
1/(1−α)

(x − c)

1/(1−α)

,

0 ≤ x ≤ c, x ≥ c,

es una soluci´n del problema de valor inicial en el intervalo [0, ∞). As´ pues, o ı

si bien el problema tiene soluci´n, ´sta no es unica. Sin embargo, en contraste o e ´ soluci´n, y(x) ≡ 0. o

con el caso α ∈ (0, 1), si α ≥ 1 el problema de valor inicial tiene una unica ´ Esteejemplo muestra que hay que pedir a la funci´n f algo m´s que cono a tinuidad para asegurar que la soluci´n del problema (1.2) sea unica. Nosotros o ´ pediremos una condici´n de crecimiento con respecto al segundo argumento de o la funci´n. o o o o Definici´n 1.1. La funci´n f : D ⊂ R × Rd → Rd satisface una condici´n de 2

Lipschitz en D con respecto a su segunda variable si existe una constante L,conocida como constante de Lipschitz, tal que f (x, y) − f (x, y ) ≤ L y − y ˆ ˆ ∀(x, y), (x, y ) ∈ D. ˆ

Observaci´n. Dado que en un espacio vectorial de dimensi´n finita todas las o o normas son equivalentes, la propiedad de ser Lipschitz no depende de qu´ nore ma tomemos. Si f , adem´s de ser continua en D, satisface una condici´n de Lipschitz con a o respecto a su segunda variable, lasoluci´n, de existir, ser´ unica. Esto es una o a´ consecuencia inmediata del siguiente lema. Lema 1.2. Sea D = [a, b] × Rd y sea f continua en D y Lipschitz con respecto

a su segunda variable en D. Sean y, y dos soluciones de la ecuaci´n (1.1) en ˆ o [a, b]. Entonces, para todo a ≤ x ≤ b, y(x) − y (x) ≤ y(a) − y (a) exp(L(x − a)). ˆ ˆ Prueba. Tenemos que y(x) = y(a) + y (x) = y (a) + ˆ ˆ
x a x a(1.3)

f (s, y(s)) ds, f (s, y (s)) ds. ˆ

Restando y tomando normas, y usando que f es Lipschitz en su segunda variable se tiene que y(x) − y (x) ˆ Si definimos
x

≤

≤

y(a) − y (a) + ˆ

x a

y(a) − y (a) + L ˆ

x a

f (s, y(s)) − f (s, y (s)) ds ˆ y(s) − y (s) ds. ˆ

(1.4)

ˆ g(x) = y(a) − y (a) + L tenemos por un lado que

a

y(s) − y (s) ds, ˆ

y(x) − y (x)...