Valor promedio de una funcion

Valor promedio de una función
Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom = . ¿Cómo calculamos la temperatura promedio duranteun día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) = x3 en elintervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".
Se propone calcular el valor promedio de la funcióny = f(x), a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud D x =. Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético omedio de los valores de la función en los ci viene dado por:
Multiplicamos y dividimos por (b - a) y resulta:

La expresión       es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que elpromedio de los n valores es      veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos (D x ® 0, n ® ¥ ) se obtiene, teniendo en cuenta la definición deintegral definida:
= =.
El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta    fprom = .
El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos delas integrales definidas para representar procesos de suma.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerradoalcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) = 
Demostración:
Primer caso: Si f es constanteen el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el...