Variable Compleja Murray

DANIELUSER

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FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

62

I CAP. 2

110. Demostrar que si f(t) es continua en una regi6n cerrada, es acotada en la región.

111. Demostrar que tíz) = 1/2 eS continua para todo z tal que

Izl >

0, pero que no eS acotada.

112. Demostrar que un polinomio es continuo en todo el plano finito .

•2+ 1
f(z) = ,,2-3z +2

113. Mostrarque

,.

es continua para todo z e xterior a 1"'1

CONTINUIDAD UNIFORME
114. Demostrar que f(z) = 3z - 2 es uniformemente continua en la regi6n

Izl

;:¡¡ 10.

115. Demostrar que fez) _ l /z~, (a) nO eS uniformemente continua en la región Izl;:¡¡ 1, pero, (b) es
uniformemente continua en la regi6n 1 ::ii 1:1 ;::¡: 1.
116. Demostrar que si f ez ) "" continua en una regi6n cerrada '1{ esuniformemente continua en 'I{.

SUCESIONES Y SERIES

'.

117. Demostrar que, (a)

lb)

lim (

~_~

n .
l1 +S ,

---

118. Demostrar que para cualquier número complejo z, lim (1

n(l +i)
K '" O.
119. Demostrar que ~lim
_ ~
2

in )

1 - '.

n +'

+ 3zl,,2)

= l.

"-.

120. Demostrar que lim "in no existe.

O.

121. Si lim lu,,1 = 0, demostrar que lim u"
~_x

¿Es verdadero el recíproco? Justificar suconclusi6n.

~_~

122. S i lim a n _ A

Y lim b n _ B.

demostrar que, (a ) lim (a"

A - B, (e) lim a"b" - AB, (d) lim a"/b,,

=

+ bn )

.,. A

+ B,

(b) lim (a n - bn ) _

A/B si B "" O.

123. Aplicando teoremas sobre límites calcular.

(o,

lim
n_ '<,

(b)

ú. 2 - in + 1 3i
(211.+4; 3)(n-i)
(n2 + 3i)(11. - .)

lim

n_ ,

;'13-311. +4
~i,

Resp. (a)

1

«,

lim V'n + 2i -

(d)

lim Yn{V'n+2i -

"- "

125.Demostrar que la serie
Resp . (9 + Si) /10

11.1 +11.2 + •.. + Un

"- ,.
1 + i/3 + (i/3)2 + .. .

126. Demostrar qu e la serie i - 2i

+ 3i

, •

A

+ iB.

V'11. + i}

(b) 1, (e) 0, (d)!i

124. Si lim u" - 1, demostrar que lim

127 . Si la serie

yn+i

~ a. converge a A, y

. =1

- 4i

•

~

n_'

.-,
•

~

l.

(i/3}n - '

converge y hallar sus sumas .

+ .. . diverge .
b. converge a B, demostrarque

¿Es verdadero el recíproco?

128. Estudiar la convergencia de

donde '" -

v'3 +

J.

Resp. Convergente

converge a

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CAP, 21

FUNCIONES. LIMITES Y

CO:'>
,

PROBLE MAS VARI OS

+

e

129. Sea w _ {(4 - z)(z~
4-)}lJ2. Si w _ 4- <:U8ndo Z - 0,
mostrar que ai z describe la curva
de la figura 2-32, enton-

e

ceselvalor daweo z -6 es - 4,,¡s:

•

130.Demoet1'8r que una condición ne<::esaria y suficiente para que
f ez) - u (x, y) + ¡ v er, y ) Ha continua en z - Z(I - Xo + ¡Yo
Fig. 2·32

es que u (x , y) y 1I (%,y) sean continuas en (%o,Yo)·

131. Demoet raf Que la ecuación b.n z - z tiene solamente raiees realea.

132. Un 4!$tudiante ob&ervaba. que lo elevado a cualquier potencia es igual a 1-

¿Estaba él en lo ciertú?

E:o:plicar.
133. Mostrarque Mn'

2

+ stn2, + sena, + ...
2'

2 sen'
5-4cos'

2'

134. Mostrar que la relación If(:< + iy) 1 - If(x)
funciones con esta propiedad?
131i. Damaftrar que

+ ICiy)l

se satisface para fez) _

~en l.

¿Exillten otras

lim
,s - h + 2
::: O•
. . .. z4+,2-3%+5

138. DemQlltrar que lcae z-1:5i 'le/(e'" - 1) si Iy l ~ L

137. M oatrarque Re{sen-Iz}

= t{V",2+ 1I2+2o:+1 - v'",2 + 1I!-2o:+1}.

138. Si...

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