Variables Aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS
Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales


VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Variable aleatoria, asociada a una experiencia aleatoria, es la ley que hace corresponder a cada suceso aleatorio un valor numérico. Así, por ejemplo, la expresión "lanzamos tres monedas observando el número de caras que se obtienen" está definiendo la variablealeatoria que permite asociar al suceso Cara-Cruz-Cara el valor 2 (dos caras). Como en el caso de las variables estadísticas, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Nos centraremos en el estudio de las primeras.

FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD
Es el conjunto de los valores de la variable aleatoria X y sus probabilidades respectivas f(x) = Pr(X=x). Para el caso discreto sesuele adoptar la forma de representación siguiente : X f(X) x1 p1 x2 p2 x3 p3 .... .... xi pi .... .... xn pn

Ante la equivalencia entre frecuencias relativas y probabilidades, se verifica que :

∑p
i=1

n

i

=1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Del mismo modo que se definían las frecuencias acumuladas, denominamos función de distribución a : F(x) = Pr(X≤x)

MOMENTOS. ESPERANZAMATEMÁTICA, VARIANZA, ASIMETRÍA Y CURTOSIS
Momento ordinario de orden k : Momento central de orden k : En particular : Esperanza matemática : Es el momento ordinario de orden 1 (α1) , equivalente a la media aritmética.

α k = ∑ p i . x ik
i =1

n

μ k = ∑ p i . ( x i − E ( X) )
i =1

n

k

E ( X) = α 1 = ∑ p i . x i
i =1

n

Varianza : Es el momento central de 2º orden.
2 V( X) = μ 2 =∑ p i . ( x i − E ( X) ) = ∑ p i . x 2 − E ( X) 2 = α 2 − α 1 i 2 i =1 i =1 n n

Desviación típica : Es la raíz cuadrada de la varianza.

D ( X) = V( X )
Coeficiente de asimetría : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

A ( X) =

[ D( X)] 3
μ4 −3

μ3

Coeficiente de curtosis : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

K( X) =[ D( X)] 4

Expresión de algunos momentos centrales en función de momentos ordinarios :

μ1 = 0 μ2 = α 2 − α12

μ 3 = α 3 − 3. α1 . α 2 + 2. α13 μ 4 = α 4 − 4. α1 . α 3 + 6. α12 . α 2 − 3. α14
Variables aleatorias (F. Álvarez) - 1

OTRAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Moda : es el valor de la variable aleatoria que posee probabilidad máxima. Mediana : es el valor Md de la variablealeatoria para el cuál : F(Md) ≥ 0'5 y 1 - F(Md) < 0'5 (siendo F la función de distribución)

PROPIEDADES
• • • E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(α.X) = α.E(X) , para cualquier número α. Si las dos variables son independientes , se verifica que : • E(X . Y) = E(X) . E(Y) • V(X + Y) = V(X) + V(Y)

TEOREMA DE TCHEBYCHEV
Establece la probabilidad máxima de que la variable aleatoria tome valores en losalrededores de la esperanza matemática (media de la distribución). Teorema : Para toda variable aleatoria X para la que existe su esperanza y su varianza, se verifica que, para cualquier valor numérico positivo k :

Pr( X − E ( X ) < k ) < 1 −
Gráficamente :

V( X) k2

La probabilidad de que cualquier valor de la variable X pertenezca al intervalo sombreado es inferior a :

1−

V( X) k2

2 -Variables aleatorias (F. Álvarez)

EJERCICIOS RESUELTOS
1
Lanzadas cuatro monedas, consideremos el número de cruces obtenidas. Calcular, de la variable aleatoria así definida : a) Ley de probabilidad b) Función de distribución c) Esperanza matemática y varianza d) Mediana y moda de la distribución e) Determine la probabilidad de obtener más de 1 y menos de 3 caras. Compruebe el teorema deTchebychev. CCCC CCC+ CC++ C+++ ++++ Se obtienen 0 cruces Se obtienen 3 caras y 1 cruz Se obtienen 2 caras y 2 cruces Se obtienen 1 cara y 3 cruces Se obtienen 4 cruces

CC+C C+C+ +C++

C+CC C++C ++C+

+CCC +CC+ +++C

+C+C

++CC

Ley de probabilidad o función de densidad : X f(x)=Pr(X=x) Función de distribución : X f(x)=Pr(X=x) F(x)=Pr(X≤x) Más correctamente se expresará : 0 1/16 1/16...