Variables discretas

laberintos e infinitos

Variables Aleatorias: ¿Continuas o Discretas?
Horacio González Duhart

Todas aquellas personas que ya pasaron un primer curso de probabilidad están familiarizadas con el término de variable aleatoria. No sólo en carreras como Matemáticas, Actuaría, Ingeniería, etc., sino también en carreras como Economía, Psicología y Administración, este término junto con otros decorte estadístico, son muy usados. Seguramente en su primer curso de probabilidad les habrán dicho, como me lo dijeron a mí, que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Incluso llegamos a ver variables aleatorias que tienen nombre propio distinguiéndolas dependiendo de su función de masa de probabilidades (fmp para las discretas) y su función de densidad (fdd para las continuas).Uno de los ejemplos más sencillos dentro de las variables aleatorias discretas es la Bernoulli con parámetro p ∈ (0,1)cuya fmp es: X ~ Ber ( p ) ⇒ f X ( x ) = p x (1 − p )
1− x

Ι {0,1} ( x )

De la misma forma, un ejemplo de variable aleatoria continua es la Uniforme en el intervalo (a,b) donde a, b ∈ R y cuya fdd está dada por:
Y ~ (a, b ) ⇒ f Y ( y ) = 1 Ι ( a ,b ) ( y ) b−a

Hasta aquítodo va muy bien, ¿pero éstas son las únicas variables aleatorias? Para que vean que este artículo no es tan sólo una curiosidad teórica a la que se le da la vuelta en los cursos de probabilidad, pondremos el siguiente ejemplo1 “muy actuarial”: Supongamos que el ITAM, preocupado por su inversión multimillonaria de su nueva biblioteca, la asegura en caso de terremoto. Afortunadamente, laprobabilidad de que ocurra un terremoto es muy baja, pues es tan sólo de 0.3. Pero en caso de ocurrir el siniestro, el ITAM podría sufrir una pérdida cualquiera (digamos uniforme) entre $0 y el valor total de la biblioteca (digamos $10 000 000). Definamos a la variable Z como el monto equivalente al daño de la biblioteca (haya o no siniestro).

1 La probabilidad de temblor y el monto de la biblioteca sonpuestos aquí con fines meramente didácticos, ninguna investigación se realizó para obtenerlos.

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reloj o perfecta sincronía Esta nueva variable que acabamos de definir, ¿es continua o es discreta? ¿cuál es su fmp? ¿cuál es su fdd? Claramentepodemos ver a nuestra variable aleatoria como el siguiente producto:
Z = XY

X ~ Ber (0.3) Y ~ U (0,10000000 )

La respuesta es que Z no es continua ni es discreta y no tiene fmp ni fdd. ¿Entonces qué tiene? Lo que toda variable aleatoria tiene por el simple hecho de ser variable aleatoria2 es su función de distribución (Fdd) y esta se define así:

FZ : R → [0,1]

FZ (t ) = P(Z ≤ t ) Y sonya conocidas por todos nosotros sus propiedades:
1. 0 ≤ FZ (t ) ≤ 1 ∀t ∈ R 3. lim FZ (t ) = 0
t → −∞ h →0

2. x < y ⇒ FZ ( x ) ≤ FZ ( y ) ∀x, y ∈ R lim FZ (t ) = 1
t →∞

4. lim+ FZ (t + h ) = FZ (t ) ∀t ∈ R

De hecho, podemos decir que si una función satisface estas cuatro propiedades, entonces existe una única3 variable aleatoria para la cual esta es su función de distribución. Entoncespara hablar de variables aleatorias, podemos fijarnos solamente en sus funciones de distribución.
2 3

Las variables aleatorias por definición son funciones medibles sobre el σ- álgebra de Borel. Puede haber varias variables aleatorias estrictamente distintas con la misma función de distribución, pero se dice que son iguales casi seguramente (o casi dondequiera en el términos de medidas engeneral)

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laberintos e infinitos Denotemos así: ℑ = {F : R → [0,1] | F es una Fdd}al conjunto de todas las funciones de distribución. Dejo como ejercicio al lector probar que éste es un conjunto convexo. Esto quiere decir, que αF + (1 − α )G ∈...