VariasVariables

Cap´
ıtulo 8

Introducci´n al an´lisis de funciones
o
a
de varias variables
En este cap´
ıtulo introducimos los rudimentos del c´lculo en varias variables. En todo momento tendremos
a
como punto de referencia lo hecho en cap´
ıtulos anteriores para el caso de una variable con el objeto de
presentar los conceptos de este cap´
ıtulo como una extensi´n de los de aquel. Nos ce˜iremos deforma estricta
o
n
a los conceptos m´s b´sicos y a las aplicaciones elementales del an´lisis multidimensional.
a a
a

8.1

Introducci´n
o

En numerosas ocasiones encontraremos fen´menos que dependen del valor de una sola variable (el tama˜o
o
n
de un potro que var´ solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos tambi´n
ıa
e
enfrentarnos a situaciones en lasque han de considerarse dos o m´s variables.
a

Ejemplos 1.
1) La distancia entre dos puntos del plano, (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), depende del valor de las coordenadas x1 , y1 ,
x2 , y2 :
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

2) Cierta empresa vende una cantidad de productos, x, cada uno de ellos a un precio, p. Los ingresos
obtenidos depender´n del valor de x y de p :a
ingresos(x, p) = xp.

Definici´n 2. Una funci´n de varias variables es una aplicaci´n
o
o
o
f : D ⊆ Rn → R
.
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn )
El conjunto D se denomina dominio de la funci´n f y determina los valores de las variables x1 , x2 ,. . . xn
o
para los que est´ definida la funci´n f .
a
o
Al igual que en el caso de funciones de una sola variable, podemosdefinir una funci´n de varias variables
o
de dos maneras:
1

• Mediante la notaci´n habitual para aplicaciones indicando el dominio y la f´rmula de la funci´n.
o
o
o
• Indicando unicamente la f´rmula de la funci´n.
´
o
o
En el segundo caso, como suced´ para una sola variables, el dominio estar´ formado por los puntos para los
ıa
a
que la f´rmula de la funci´n tenga sentido.
o
oEjemplo 3.
1) La funci´n
o
f : R2 → R
xy − z 2
f (x, y, z) =
1 + x2 + y 2 + z 2
se ha definido empleando la notaci´n usual para aplicaciones. En la definici´n est´ indicado el dominio
o
o
a
(D = R2 ) y la f´rmula.
o
2) La funci´n de R4 ,
o

x+y+z+w
,
x−y
se ha definido indicando unicamente su f´rmula. Para calcular el dominio determinaremos los valores de x,
´
o
y, z y w paralos que se puede calcular g. Es evidente que si x = y, la expresi´n g(x, y, z, w) no puede ser
o
calculada. Por tanto, el dominio de la funci´n ser´
o
a
g(x, y, z, w) =

D = R4 − {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = y}.

Si bien el dominio de una funci´n de varias variables puede ser cualquier conjunto arbitrario D ⊆ Rn ,
o
nosotros consideraremos principalmente cierto tipo de dominios m´ssencillos:
a
Cajas o intervalos multidimensionales: En el cap´
ıtulo de introducci´n estudiamos c´mo es posible
o
o
realizar el producto cartesiano de varios conjuntos. Dados los intervalos I1 , I2 , . . . , In ⊆ R su producto
cartesiano es de la forma
I1 × I2 × · · · × In = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ∈ I1 , x2 ∈ I2 , . . . , xn ∈ In }.
A este tipo de conjuntos los denominamos cajas ointervalos n-dimensionales. En particular, si I1 =
[a1 , b1 ], I2 = [a2 , b2 ], . . . , In = [an , bn ], podemos considerar el producto cartesiano de todos ellos,
[a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] =
= {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ∈ [a1 , b1 ], x2 ∈ [a2 , b2 ], . . . , xn ∈ [an , bn ]}
= {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 ≤ x1 ≤ b1 , a2 ≤ x2 ≤ b2 , . . . , an ≤ xn ≤ bn }.
Losintervalos [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . , [an , bn ] podr´ haberse tomado abiertos, semiabiertos, abiertos alıan
gunos de ellos y cerrados los otros, etc.
Ejemplo 4. La caja 2-dimensional [1, 3]×[1, 2] est´ formado por el producto cartesiano de los intervalos
a
[1, 3], [1, 2] ⊆ R. Sus elementos son
[1, 3] × [1, 2] = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}.
Es decir, la coordenada en el eje x...