Variedades Afines

1
1.1

Polinomios y Espacio Afín
Conceptos Básicos
De…nición 1 Un monomio en x1 , x2 , :::, xn es un producto de la forma x1 1 x2 2 xn n ;

donde todos los exponentes 1 , 2 , :::, n son enteros no negativos. El grado total de este monomio es la suma 1 + 2 + ::: + n : También denotaremos como j j = 1 + 2 + ::: + n el grado total del monomio x : Podemos simpli…car la notación para monomiosde la siguiente forma: Sea una n upla de enteros no negativos. Entonces tenemos x = x1 1 x2 2 :::xnn : Cuando = (0; :::; 0), observemos que x = 1. =(
1; 2 ; :::; n)

Ejemplo 1
1

Cuando n = 1, tenemos una sola indeterminada, en este caso hacemos x = x1 y 2 Z 0 . Algunos ejemplos de monomios en la variable x son x, x5 , x0 = 1, x2 , x6 , x10 : En cambio x 1 , x 2 , x 5 , x 6 , x 1,
10

=1,

no son monomios puesto que 5, 6, 10 2 Z 0 : = = (
1, 2)

2,

Sí n = 2, hay dos indeterminadas y hacemos x1 = x, x2 = y y Ejemplos de monomios en este caso son: xy 2 , x2 y 5 , x4 y 3 , x7 y y xy 2 ,

2 Z2 0 :

con grado total 2 + 1 = 3, 2 + 5 = 7, 4 + 3 = 7, 7 + 1 = 8 y 1 + 2 = 3, respectivamente. Así mismo como en el caso de dos variables, tenemos expresiones tales como xy 2 , x 2y 5 , x 4 y 3 , x 7 y, xy 2 , que no son monomios porque (1, 2) , ( 2, 5) , ( 4, 3) , ( 7, 1) , (1, 2) 2 Z2 0 : =

De…nición 2 Un polinomio f en x1 , x2 , :::, xn con coe…cientes en un campo k es una combinación lineal …nita (con coe…cientes en k) de monomios. Escribiremos un polinomio f en la forma 1

f=

donde la suma se realiza sobre un número …nito de n uplas

X

a x , a 2k =(
1,2,

:::,

n) :

El conjunto de todos los polinomios en x1 , x2 , :::, xn con coe…cientes en k se denotará por k[x1 , x2 , :::, xn ]: Nota: Cuando tratemos con polinomios en un número pequeño de indeterminadas, usualmente prescindiremos de los subíndices en las indeterminadas. Por lo tanto, escribiremos k[x], k[x, y], k[x, y, z], para denotar al conjunto de polinomios en una, dos y tresvariables respectivamente. Ejemplo 2 Si k = R tenemos que f = 2x4 2x2 + 3x 1 g = 5x3 y 2 + 6x5 y 4 8xy + x 2y p 2 h = 7x4 yz 3 5x2 y 2 z + 2xy 2 z + 2xz son polinomios en R[x], R[x, y] y R[x, y, z], respectivamente. ¿ f , g y h son polinomios en Q [x], Q [x, y] y Q [x, y, z] respectivamente? ¿y en Z [x], Z [x, y] y Z [x, y, z]? De…nición 3 X Sea f = a x un polinomio en k[x1 , x2 , :::, xn ]:

y

i)Llamaremos a a el coe…ciente del monomio x : ii) Si a 6= 0, entonces a x es un término de f: iii) El grado total de f , es el máximo j j entre todos los monomios cuyos coe…cientes a son distintos de cero. p El polinomio h = 7x4 yz 3 5x2 y 2 z + 2xy 2 z + 2 2xz y, consta de cinco términos y es de grado total 8, ya que j(4; 1; 3)j = 4 + 1 + 3 = 8 j(2; 2; 1)j = 2 + 2 + 1 = 5 j(1; 2; 1)j = 1 + 2 + 1= 4 j(1; 0; 1)j = 1 + 0 + 1 = 2 j(0; 1; 0)j = 0 + 1 + 0 = 1, entonces j(4, 1, 3)j > j(2, 2, 1)j > j(1, 2, 1)j > j(1, 0, 1)j > j(0, 1, 0)j, y por lo tanto, el grado total de h es j(4, 1, 3)j = 8: Ejemplo 3

2

De…nición 4 Sea el polinomio f = X a x . Decimos que f es el polinomio nulo si y solo si todos sus

coe…cientes son cero, esto es

0=f = donde 0 = 0, 8 2 Zn 0 :

X

0 x ;

1.2Suma y Producto de polinomios en n indeterminadas
De…nición 1

Términos semejantes son expresiones algebraicas en la que todas las partes [variable(s) y exponente(s)], son los mismos. Ejemplo 1 2x y x son términos semejantes. Igualmente lo son 3ab2 y 7ab2 . Por otra parte, para sumar términos semejantes, lo que hacemos es sumar los coe…cientes que acompañan a cada uno de los monomios,mientras que el monomio queda igual. Ejemplo 2 Si sumamos los términos semejantes dados en el ejemplo anterior, tenemos que 2x + ( x) = (2 + ( 1)) x = x y 3ab2 + 7ab2 = (3 + 7) ab2 = 10ab2 : La suma y el producto de dos polinomios es de nuevo un polinomio. La suma de polinomios la de…nimos de la siguiente manera: X X Sean f = a x yg= b x dos polinomios en k[x1 , x2 , :::, xn ], entonces f +g = = = X X...