Vector de pointyng

Vector de POYNTING y Densidad de Energía del CAMPO ELECTROMAGNETICO Dr. Andrés Ozols

FIUBA 2005
Ozols 1

ENERGIA del CAMPO ELECTROMAGNETICO
Si u(r,t) = densidad de energía Si S(r,t) =densidad de flujo de potencia La variación de energía total dentro de un volumen V limitado por la superficie A:

Aplicando el teorema de Gauss a V fijo:

∂ − ∫ udV = ∫ S .dA ∂t V A

∂u ∫V ∂t dV = −V∇.SdV ∫
Ozols 2

Para un volumen arbitrario Teorema de continuidad de la ENERGIA

∂u + ∇.S = 0 ∂t
Si existe densidades de corriente J ⇒ potencia disipada J.E

∂u + ∇.S + J .E = 0 ∂t
La 2 ec. DeMaxwell con fuentes de campo:

∂E J .E = [∇xH − ε 0 ].E ∂t
Ozols 3

Entonces el Término de disipación de energía

ε 0 ∂E 2 ∂E J .E = ∇xH .E − ε 0 .E = (∇xH ).E − 2 ∂t ∂t
pero

∇.( ExH ) =H .(∇xE ) − E.(∇xH ) ε 0 ∂E 2 J .E = −∇.( ExH ) + H .(∇xE ) − 2 ∂t ∂B ε 0 ∂E 2 J .E = −∇.( ExH ) − H .( ) − 2 ∂t ∂t B = µ0 H
Ozols 4

entonces

O bien

Como

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE LAENERGÍA

∂  µ0 2 ε 0 2  −∇.( ExH ) + J .E +  H + E  = 0 2 ∂t  2 
Donde

S = ( ExH )

Vector de Poynting

 µ0 2 ε 0 2  u= H + E  2 2 

Densidad de Energía

Ozols

5APLICACIÓN A UNA ONDA PLANA PROGRESIVA Si el campo eléctrico sigue en la dirección x:

ˆ E = E0 cos( kz − ω t )i
Si el campo eléctrico sigue en la dirección y:

H = H 0 cos( kz − ω t ) ˆ j
El vector dePoynting queda en la dirección perpendicular al plano x,y:

ˆ S = ExH = E0 H 0 cos 2 ( kz − ω t )k

Ozols

6

Además para la onda plana:

µ0 µ0 1 E = cB = cµ 0 H = c H= H= H c µ 0ε 0 c ε0c
2

Resulta

ˆ S == cε 0 E0 2 cos 2 ( kz − ω t ) k
Como

1 + cos 2α cos (α ) = 2
2
Ozols 7

El vector de Poynting queda como

cε 0 E0 2 ˆ cε 0 E0 2 ˆ cos 2(kz − ω t )k S == k+ 2 2 cε 0E0 2 ˆ cε 0 E0 2 ˆ cos 2(kz − ω t )k S == k+ 2 2

Término cte en tiempo

Término variable en tiempo

Ozols

8

El promedio temporal del vector de Ponyting

cε 0 E0 2 ˆ S == k 2
La...