vectores
Páginas: 9 (2049 palabras)
Publicado: 25 de abril de 2013
Vectores en el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se
construye trazando un eje Z, perpendicular en el
origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene
determinado
por tres
coordenadas P(x, y, z) .
Los ejes de coordenadas determinan tres planos
coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados
dividen
al
espacio
llamadas octantes,
en
en
elprimer
ocho
regiones
octante
las
tres
coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento
orientado que
tiene
su extremo en el otro.
su origen en
un
punto
y
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x 1 , y 1 , z 1 ) y
B(x 2 , y 2 , z 2 ) Las coordenadas o componentes delvector
son las coordenadas del extremo menos
las coordenadas del origen.
Determinar
la componentes
de
los
vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de
un vector es
la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de
un vector es
un número siempre positivo y solamenteel vector
nulotiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores
los módulos de
y
y
, hallar
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas
de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia
entre
dos
puntos es
igual
al módulo del vector que tiene de extremos dichos
puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1,2, 3)
y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La
normalización
asociarle
otro vector
de
un
vector
unitario ,
consiste
de
en
la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo
cada componente del vector por su módulo.
Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para
sumar
dos
vectoresse
suman
sus
respectivas componentes.
Ejemplos
Dados
= (2, 1, 3),
3), hallar el vector
= (1, −1, 0),
= (1, 2,
= 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3,
3)
Dados
los
vectores
el módulo del vector
y
.
Propiedades de la suma de vectores
, hallar
Asociativa
+ (
+
) = (
+
) +
Conmutativa
+
=
+Elemento neutro
+
=
Elemento opuesto
+ (−
) =
Producto de un número real por un vector
El producto
un vector
de
un
número
real
k
por
es otro vector:
De igual dirección que el vector
Del mismo
sentido que
el
.
vector
si
k
es
positivo.
De sentido
negativo.
De módulo
contrario del
vector
si
k
es
Las
componentesdel
vector
resultante
se
obtienen multiplicando por K las componentes del
vector.
Propiedades del producto de un número por un
vector
Asociativa
k · (k' ·
) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · (
+
) = k ·
+ k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') ·
= k ·
+ k' ·
Elemento neutro
1 ·
=
Ejemplo
Dado
sea 3
== (6, 2, 0) determinar
.
de modo que
Dependencia e independencia lineal. Bases
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores
es
el vector que
se
obtiene
al sumar
esos vectores multiplicados por sendos escalares .
Cualquier vector se
puede
poner
como
combinación
lineal de otros que tengan distinta dirección .
Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores
son linealmente
libres del
plano
se
dependientes si
dice
que
hay
unacombinación
al vector
lineal de
cero,
ellos
sin
que
que
es
igual
sean cero todos
loscoeficientes de la combinación lineal .
Propiedades
1. Si
varios vectores son linealmente
dependientes, entonces...
Un sistema de coordenadas tridimensional se
construye trazando un eje Z, perpendicular en el
origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene
determinado
por tres
coordenadas P(x, y, z) .
Los ejes de coordenadas determinan tres planos
coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados
dividen
al
espacio
llamadas octantes,
en
en
elprimer
ocho
regiones
octante
las
tres
coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento
orientado que
tiene
su extremo en el otro.
su origen en
un
punto
y
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x 1 , y 1 , z 1 ) y
B(x 2 , y 2 , z 2 ) Las coordenadas o componentes delvector
son las coordenadas del extremo menos
las coordenadas del origen.
Determinar
la componentes
de
los
vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de
un vector es
la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de
un vector es
un número siempre positivo y solamenteel vector
nulotiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores
los módulos de
y
y
, hallar
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas
de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia
entre
dos
puntos es
igual
al módulo del vector que tiene de extremos dichos
puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1,2, 3)
y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La
normalización
asociarle
otro vector
de
un
vector
unitario ,
consiste
de
en
la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo
cada componente del vector por su módulo.
Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para
sumar
dos
vectoresse
suman
sus
respectivas componentes.
Ejemplos
Dados
= (2, 1, 3),
3), hallar el vector
= (1, −1, 0),
= (1, 2,
= 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3,
3)
Dados
los
vectores
el módulo del vector
y
.
Propiedades de la suma de vectores
, hallar
Asociativa
+ (
+
) = (
+
) +
Conmutativa
+
=
+Elemento neutro
+
=
Elemento opuesto
+ (−
) =
Producto de un número real por un vector
El producto
un vector
de
un
número
real
k
por
es otro vector:
De igual dirección que el vector
Del mismo
sentido que
el
.
vector
si
k
es
positivo.
De sentido
negativo.
De módulo
contrario del
vector
si
k
es
Las
componentesdel
vector
resultante
se
obtienen multiplicando por K las componentes del
vector.
Propiedades del producto de un número por un
vector
Asociativa
k · (k' ·
) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · (
+
) = k ·
+ k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') ·
= k ·
+ k' ·
Elemento neutro
1 ·
=
Ejemplo
Dado
sea 3
== (6, 2, 0) determinar
.
de modo que
Dependencia e independencia lineal. Bases
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores
es
el vector que
se
obtiene
al sumar
esos vectores multiplicados por sendos escalares .
Cualquier vector se
puede
poner
como
combinación
lineal de otros que tengan distinta dirección .
Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores
son linealmente
libres del
plano
se
dependientes si
dice
que
hay
unacombinación
al vector
lineal de
cero,
ellos
sin
que
que
es
igual
sean cero todos
loscoeficientes de la combinación lineal .
Propiedades
1. Si
varios vectores son linealmente
dependientes, entonces...
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