Vectores

Ecuaciones Parametricas:

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de lavariable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa unparámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada
una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera
variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable,
comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan
en la siguienteforma general:
x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan
una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las
ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, querepresentan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así
determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las
ecuaciones paramétricas.

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica.

CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto
de la curva y Θ=ángXOM.
Se tiene, como ecuacionesparamétricas de la circunferencia:
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:
X=a cos 0
Y=a sin 0

CICLOIDE

Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin
resbalar, a lo largo de una recta fija.
Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la
circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe lacurva.4
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide
en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M
y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en
todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente
que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radiomultiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

X= OP = OT – MN =r0- r sin0
Y= PM= TC- NC= r - rcos0

De donde

X= r(0-r sin0)
Y= r(1- cos0)

que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.


HIPOCICLOIDE

Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin
resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otracircunferencia
fija.
Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido elarco AB;o sea: arco AB=2πb


Ecuación Vectorial:

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviesemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresiónanalítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto [pic] de la recta y un vector de dirección [pic] , un punto genérico de la recta [pic] tendrá como vector de posición [pic].

Es claro que [pic] , como el vector [pic] y [pic] están en la misma dirección exite un número [pic] tal que [pic], por tanto [pic] esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la...