vectores

7

1.13

Propiedades de los vectores

Las propiedades más útiles de los vectores, según lo que ha demostrado la experiencia, se enuncian en el siguiente
teorema,
Teorema 1.14 (Propiedades de los vectores).
→ → →
Si − , − , − ∈ R3 y α, β ∈ R entonces,
v w u

→ → → →
1.) Conmutatividad: − + − = − + −
v
w
w
v

→ →
5.) 1 − = −
v
v

→
→ →
→ →
→
2.) Asociatividad: − + (− +− ) = (− + − ) + −
u
v
w
u
v
w

→
→
6.) α β− = α ( β− )
v
v

→ →
→ −
3.) Elemento neutro: − + 0 = −
v
v

→ →
→
→
7.) α − + − = α− + α−
v
w
v
w

→
→
→ −
4.) Inversos: − + −− = 0
v
v

→
→
→
8.) (α + β) − = α− + β−
v
v
v

1.15

Producto punto y norma.

El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación esintroducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud y ángulo entre vectores.

Definición 1.16 (Producto punto o interior).
→
→
→ →
Consideremos los vectores − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 . El producto punto (o escalar) − · − se
v
w
v w
define de la siguiente manera,
− ·− =v ·w + v ·w +v ·w ∈R
→ →
v w
2
2
3
3
1
1

Ejemplo 1.17.

√
→→
a.) Sean − = (−1, 3, 4) y − = (1, 0, 2) entonces
v
w
− · − = −1 · 1 + 3 · 0 + 4 · √2 = 4√2 − 1
→ →
v w
→
b.) Sea − = ( a, b, c) entonces
u

− · − = a2 + b2 + c2
→ →
u u

→ →
→ →
→
De aquí se deduce que − · − ≥ 0 y que − · − = 0 solamente si − = 0.
u u
u u
u

Propiedades del producto punto. En los cálculos que usan el producto punto es frecuente invocar las
propiedadesque se enuncian en le teorema que sigue. También, el producto punto se generaliza como el producto interno (en contraposición con el producto exterior). Las propiedades que permanecen en esta generalización
son,
Cálculo Superior. Walter Mora F.
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VECTORES

Teorema 1.18(Propiedades del producto punto).
→ → →
Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces
v w u

→
→ →
→ −
1.) − · − > 0 si − = 0 (el producto punto es definido positivo)
v v
v
→ → → →
2.) − · − = − · −
v w
w v
→ → →
→ → → →
3.) − · − + − = − · − + − · −
u
v
w
u v
u w
→ →
→ →
4.) α− · − = α − · −
v
w
v w
−
→

− −
→ →

− −
→ →

Nota: No hay propiedad asociativapues “ v · ( w · u )” no tiene sentido dado que w · u es un número real.

Norma (Euclidiana). La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideana

Definición 1.19 (Norma).
→
→
→
Consideremos el vector − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . La norma de − se denota ||− || y se define de la siguiente manera,
v
v
v

→
||− || =
v

√

v·v
v2 + v2 + v2
3
21

=
La distancia de A a B se define como d( A, B) = || B − A||.
Observe que v · v = ||v||2

Ejemplo 1.20.

√
→
a.) Sea − = (1, 0, 2) entonces ||w|| =
w

12 + 02 +

√

2

2

=

√

b.) La distancia de A = ( x, y, z) a B = (1, −3, 2) es || B − A|| =

Teorema 1.21 (Propiedades de la norma).
→ →
Consideremos los vectores − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces,
v w

→
→
→
1.)||− || ≥ 0 y ||− || = 0 si y sólo si − = 0
v
v
v
→
→
2.) ||α− || = |α| ||− ||
v
v
→ →
→
→
3.) ||− + − || ≤ ||− || + ||− || (desigualdad triangular)
v
w
v
w
→ →
→ →
4.) |− · − | ≤ ||− || ||− || (desigualdad de Cauchy-Schwarz)
v w
v
w

3

( x − 1)2 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2

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v
La propiedad 4.) parece geométricamente muy intuitiva: Uno
→
espera que si − = 0, entoncesw

u

−
→
− ·−
→ →
− −
→ →
v
v w −
→
→ = | v · w |,
||− || ≥ proy− =
v
w
→
→
→
||− ||2
w
||− ||
w
w
→ →
→ →
de aquí se obtiene ||− || − ≥ |− · − |. También, intuitivav
w
v w
−
→
− = proy v .
→
mente la igualdad se da si v
−
→
w

v

v
proyw

w
v
proyw

Para formalizar el razonamiento usamos algo que no necesita verificación y que es equivalente...