vectores

VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Los vectores pueden expresarse en función de
coordenadas, de la siguiente manera:

Si se tiene:

r
A = ( a; b; c)
r
r
r
o de otra forma: A = a i + b j + c k
r r r
donde: i , j , k , son vectores denominados,
vectores unitarios que indican la dirección de
los ejes “x”, “y”, “z” respectivamente.
z

c

→
A

θ
α

β

y
b

x

SUMA DEVECTORES

a

r
El módulo del vector A es igual:

A = a2 + b2 + c2
Ejemplo: El módulo del vector:
r
r r
r
A = i + 2 j + 2k

r r
Entonces: A + B = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 )
Ejemplo: calcular el módulo del vector
resultante de los siguientes vectores:
r
A = ( 2; 1; − 2)
r
B = (1; − 3; 1)
r
C = (−1; 1; − 1)
La resultante de estos vectores es:
r r r r
R = A+ B +C
r
R = (2 + 1− 1; 1 − 3 + 1; − 2 + 1 − 1)
r
R = (2; − 1; − 2)
r
r
r r
También se expresa: R = 2 i − j − 2k
El módulo de la resultante es:
R = ( 2) 2 + ( −1) 2 + ( −2) 2 = 9
R=3

RESTA DE VECTORES
Si se tiene:

Es igual a: A = 12 + 2 2 + 2 2 → A = 3

cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1
a
→ a = A cosα
A

cos β =

b
→ b = A cosβ
A

cos θ =

c
→ c = A cosθ
A

α: ángulo que forma el vectorβ: ángulo que forma el vector
θ: ángulo que forma el vector

r
A = (a1 ; b1 ; c1 )
r
B = (a2 ; b2 ; c2 )

r r
Entonces: A − B = ( a1 − a2 ; b1 − b2 ; c1 − c2 )

COSENOS DIRECTORES:

cos α =

r
A = (a1 ; b1 ; c1 )
r
B = (a2 ; b2 ; c2 )

r
A con el eje x
r
A con el eje y
r
A con el eje z

r r
Ejemplo: Calcular: A − B
r
Si se tiene: A = (4; − 8; 6)
r
B = (1; 4; 2)
Laresta de los vectores es:
r r
A − B = ( 4 − 1; − 8 − 4; 6 − 2)
r r
A − B = (3; − 12; 4)
r
r r
r
r
También se expresa: A − B = 3 i − 12 j + 4k
El módulo del vector resta es:
r r
A − B = (3) 2 + (−12) 2 + (4) 2
r r
A − B = 169
r r
A − B =13

PRODUCTO DE VECTORES

r r
Producto escalar ( A ⋅ B )
Al multiplicar escalarmente dos vectores, se
obtiene como resultado “un número”.Dicho
número se obtiene multiplicando los módulos
de los vectores y por el coseno del ángulo que
forman dichos vectores.

r r
Producto vectorial ( A × B )
Al multiplicar vectorialmente dos vectores se
obtiene como resultado a otro vector.
El módulo de ese vector es igual al producto
de los módulos de los vectores a multiplicar y
por seno del ángulo que forman entre sí.
r r
A × B = A Bsenθ

→
B
θ
→
A

r r
A ⋅ B = A B cos θ
r
Ejemplo: Si los módulos de los vectores A y
r
B son A= 12, B=6 y el ángulo que forman
dichos vectores es 60º. Calcular el producto
escalar de ellos.
r r
A ⋅ B = A B cos θ = (12)(6) cos60º
r r
r r
A ⋅ B = (72)(0,5) → A ⋅ B = 36
Ejemplo: Si se tiene los vectores:
r
A = (1; 2; − 2)
r
B = (3; − 1; 2)
r r
Calcular el producto escalar A ⋅B
r r
A ⋅ B = (1)(3) + (2)(-1) + (-2)(2)
r r
A ⋅ B = 3 -1 -4
r r
A ⋅ B = −2
Caso particular: Cuando dos vectores son
perpendiculares entre sí, el producto escalar
de ellos es “CERO”
r r
A⋅ B = 0
r
r
Ejemplo: Si los vectores A y B son
perpendiculares entre si, hallar el valor de
“a”
r
r
A = ( a; 2; − 2) y B = (3; − 1; a )
r r
Si son perpendiculares, se cumple: A ⋅ B = 0
Osea:(a)(3) + (2)(-1) + (-2)(a) = 0
3a – 2 – 2a = 0 → a = 2

La dirección de dicho vector es perpendicular
r
r
al plano que contiene a los vectores A y B
→ →
A×B
→
B

2

→
A

r
r
Si los vectores A y B son dados de la
siguiente forma:
r
r
A = (1; 2; 3) y B = (4; 5; 6)
Su productor vectorial se determina así:
→ →
A×B=

i
1
4

j
2
5

k
3
6

r
r r
r
r
A × B = (2× 6 − 5 × 3)i − (1 × 6 − 4 × 3) j + (1 × 5 − 4 × 2)k

r
r r
r
r
A × B = (12 − 15)i − (6 − 12) j + (5 − 8) k

r
r r
r
r
A × B = −3i + 6 j − 3k

Si se desea calcular el módulo del producto
vectorial se procede a efectuar así:
r
r r
r
r
A × B = −3i + 6 j − 3k

r r
A× B = ( −3) 2 + (6) 2 + (3) 2
r r
A× B = 9 + 36 + 9 = 54

r r
A× B = 3 6

¿Cómo se determina el...