Vectores

UNIDAD 5

VECTORES EN EL ESPACIO

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Problema 1
Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α :

Área = 8 · 5 sen α = 40 sen α cm2

5 cm

α
8 cm

Halla el área de este triángulo en función del ángulo β :

a

Área triángulo =

a b sen β
cm2
2

β
b

Problema 2
Halla el volumen de este paralelepípedo en función de α y de β.

Área base = 40 sen α

Altura = 10 cos β


10 cm

Volumen = 400 sen α cos β cm3
β
α

5 cm
8 cm

Unidad 5. Vectores en el espacio

1

P ágina 133
¿Cuál será el volumen de un paralelepípedo de aristas a, b, c, tal que las dos
aristas de la base formen entre sí un ángulo α, y las aristas laterales formen un
ángulo β con la perpendicular?
c

Volumen = a b c sen α cos β
β
α

b
a

Problema 3Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones
son: c = 3 cm, b = 4 cm y
a = 12 cm.

c
c

Diagonal = √ 3 2 + 4 2 + 12 2 =
= √ 169 = 13 cm

b
b
a

Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c.
En general: Diagonal = √ a 2 + b 2 + c 2

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→

→

1. La propiedad a · (b · v ) = (a · b) · v relaciona el producto de números porvectores con el producto entre números.
a) De los cuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuáles
del segundo?
→

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y v un vector cualquiera representado sobre el papel.
→

→

→

a) Producto de números por vectores: b · v; (a · b) · v; a · ( b · v )
Producto entre números: a · b
Unidad 5. Vectores en el espacio

2

→v→

→

–6

v→

3

·(

–2

v)→

–2

v→

b) a · (b · v ) = 3 · (–2 v ) 
→
→
 3 · (–2 v ) = –6 v
→
→
(a · b) · v = –6 v


→

→

→

2. La propiedad (a + b) · v = a · v + b · v relaciona la suma de números con la suma de vectores.
a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuál es de cada tipo?
→

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y v un vectorcualquiera
representado sobre el papel.
a) Suma de números: a + b
→

→

→

→
→
→
 8v = 3v + 5v
av + bv = 3v + 5v 

b) (a + b) · v = 8 v
→

→

→

3v →

→

v→

→

5v

→

8v→

Suma de vectores: a v + b v

Página 137
→

→

1. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las coordenadas:
→

→

a) 2u

→

b) 0v

→

→

→

d) 2u + v

c) –u
→

→

e) u – v→

f ) 5u – 3v

→

a) 2u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2)
→

b) 0 · v = (0, 0, 0)
→

c) –u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1)
→

→

d) 2u + v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0)
→

→

e) u – v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3)
→

→

f) 5u – 3v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13, 11)
→

→

→

→

2. Sean los vectores x(1, –5, 2), y(3, 4, –1), z(6, 3, –5),w(24, –26, – 6). Halla a, b,
→
→
→→
c para que se cumpla: a x + b y + c z = w
a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6)
(a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6)
Unidad 5. Vectores en el espacio

3

a + 3b + 6c = 24 

–5a + 4b + 3c = –26 
2a – b – 5c = –6 


a=



24 3 6
–26 4 3
–6 –1 –5
–92

c=



1 3 24
–5 4 –26
2 –1 –6
–92



136
–5 4 3 = –92
2 –1 –5



=

–552
= 6; b =
–92



=

–368
=4
–92
→



1 24 6
–5 –26 3
2 –6 –5
–92

→

→



=

184
= –2
–92

→

Solución: a = 6, b = –2, c = 4, es decir, 6x – 2y + 4z = w.

Página 141
→

→

1. Dados los vectores u (5, –1, 2), v (–1, 2, –2), calcula:
→

→

→

→

b)  u  y  v 

a) u · v

→

→

→→c) ( u, v )
→

→

d) Proy. de u sobre v y proy. de v sobre u.
→

e) ¿Cuánto ha de valer x para que el vector (7, 2, x) sea perpendicular a u ?
→→

a) u · v = –5 – 2 – 4 = –11
→

b)  u  = √ 25 + 1 + 4 = √ 30 ≈ 5,48
→

 v  = √1 + 4 + 4 = √9 = 3
→

→→

c) cos ( u, v ) =
→

→

→

→

u·v

 u  v

=

→

d) Proy. de u sobre v =

→→
–11
≈ –0,669 → (...