vectores

An´
alisis de Varias Variables
Ricardo A. S´aenz

´Indice general

Parte 1. Preliminares
Cap´ıtulo 1.

El espacio euclidiano

3

§1.

Definiciones b´
asicas

3

Bestiario

9

§3.

Topolog´ıa de Rn

10

Rn

15

§5.

Conjuntos Compactos

§2.
§4.

Sucesiones en

Ejercicios
Cap´ıtulo 2.
§1.

18
22

Funciones de varias variables

25

Definicionesb´
asicas

25

§2.

Continuidad

26

§3.

Funciones lineales

29

§4.

Continuidad uniforme

31

§5.

Oscilaci´
on

33

Ejercicios

35

Parte 2. C´
alculo en el espacio Euclideano
Cap´ıtulo 3.

Diferenciabilidad

39

§1.

Derivada

39

§2.

Derivadas parciales

47

§3.

Teorema de la funci´on inversa

51

§4.

Teorema de la funci´onimpl´ıcita

55
iii

´Indice general

iv

§5. Derivadas de orden mayor
Ejercicios

57
62

Cap´ıtulo 4. Convexidad
§1. Conjuntos convexos
§2. Combinaciones convexas y simplejos

65
65
68

Cap´ıtulo 5. Integraci´
on
§1. La integral de Riemann

79
79

§3. Funciones convexas
§4. Puntos y valores extremos
Ejercicios

§2.
§3.
§4.

Funciones Riemann-integrables
Medidade Jordan
El teorema de Fubini

Ejercicios
Cap´ıtulo 6.
§1.
§2.
§3.

70
75
77

85
93
96
100

Cambio de variable y aplicaciones

103

Particiones de la unidad
La integral de Riemann en conjuntos abiertos
Cambio de variable

103
108
116

§4. El teorema de Sard
§5. El teorema de punto fijo de Brouwer
Ejercicios

122
125
127

Parte 3. An´
alisis vectorialCap´ıtulo 7.
§1.
§2.

Formas diferenciales

133

Campos vectoriales
Formas diferenciales en R3

133
135

§3. Algebra exterior
§4. Cambio de coordenadas
Ejercicios

Cap´ıtulo 8. El diferencial exterior
§1. El diferencial exterior
§2. Campos vectoriales y formas
§3.
§4.

El lema de Poincar´e
Conjuntos simplemente conexos

142
150
154
155
155
158
160
164

´Indice generalv

Ejercicios
Cap´ıtulo 9.
§1.

168
Integraci´
on de formas diferenciales

Complejos en

Rn

171
171

§2.

Integrales de l´ınea

178

Integraci´
on de formas diferenciales

185

§4.

Teorema de Stokes

186

§3.

Ejercicios

192

Parte 4. Variedades diferenciables
Cap´ıtulo 10.

Variedades diferenciables

197

Rn

197

§1.

Variedadesdiferenciables en
Espacio tangente

202

§3.

Variedades con frontera

205

§2.

Ejercicios
Cap´ıtulo 11.

208
Orientaci´
on

211

§1.

Campos vectoriales y formas diferenciales

211

Orientaci´
on

214

§3.

Orientaci´
on inducida en ∂M

218

§2.

Ejercicios
Cap´ıtulo 12.

221
El teorema de Stokes

223

§1.

Integraci´
on de formas en variedades223

El teorema de Stokes

227

§3.

Volumen

229

Los teoremas cl´
asicos

233

§2.

§4.

Ejercicios

235

Parte 1

Preliminares

Cap´ıtulo 1

El espacio euclidiano

1.

Definiciones b´
asicas
El espacio euclidiano, denotado por Rn , est´
a definido por el conjunto

(1.1)

Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.

Es decir, Rn es el productocartesiano de n copias de R, el conjunto de los
n´
umeros reales. Recordemos que R es un campo ordenado completo, es decir,
todo conjunto no vac´ıo acotado por arriba tiene una m´ınima cota superior
(supremo). Una manera equivalente de enunciar la completitud de R es el
hecho de que toda sucesi´on de Cauchy en R converge. Hablaremos m´
as sobre
sucesiones de Cauchy, particularmente en Rn , m´as adelante.
Notemos que, en la ecuaci´
on (1.1), las coordenadas de cada vector en
Rn se denotan con super´ındices, en lugar de sub´ındices: x1 , x2 , etc. Esto nos
simplificar´
a la notaci´
on m´
as adelante.
Rn es un espacio vectorial con suma
x + y = (x1 + y 1 , x2 + y 2 , . . . , xn + y n )
y multiplicaci´
on escalar
αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ).
Adem´
as, posee el...