Vectores

LOS VECTORES

Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por unorigen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellossobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o másvectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.

Producto de un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :
1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Susentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.
Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi+ 3 · vyj + 3 · vzk.
La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema decoordenadas:
r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz
Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular elángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
Producto vectorial
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornilloque gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,

Se escribe . Por tanto:
donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.
OBSERVA LA SIGUIENTE FIGURA Y CONTESTA LO QUE SE TE PIDE.
* Hallar las resultantes de las dos fuerzas de 50N y 100 N.
* Descomponer cada una de las fuerzas sobrelos ejes “a” y “b”.

50 N

100 N

Solución:
* Trasladamos el eje “a” hasta chocar con “b”; esto no altera nada, ya que son perpendiculares y encontramos los ángulos necesarios para hacer nuestro diagrama de flujo.
Descompuestas las fuerzas y habiendo encontrado nuestros ángulos; dibujamos nuestro diagrama de cuerpo libre:

*...