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Publicado: 16 de octubre de 2012
Ecuaciones Diferenciales – Material de apoyo y repaso
ALGUNAS CUESTIONES SOBRE MATRICES
Advertencia. Puesto que lo que nos interesa en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales
est´ relacionado con las matrices cuadradas exclusivamente, voy a exponer una serie de ideas
a
unicamente en el caso de las matrices cuadradas. Creo que es bastante obvio que lo que cuento
´
sobre producto de unamatriz por un vector y producto de dos matrices es extrapolable al caso
general sin ninguna dificultad. Cuidado en cambio con la idea de que la independencia lineal
de n vectores de Rn implica que forme una base de Rn . Esto ocurre porque hay tantos vectores
como componentes.
1. El producto matriz por vector
El producto de una matriz por un vector realiza
las columnas de la matriz. As´por ejemplo
ı,
3
1 23
3 1 4 2 =3
−6
−1 4 7
de forma compacta una combinaci´n lineal de
o
1
2
3
3 + 2 1 − 6 4 .
−1
4
7
Tambi´n, con coeficientes m´s generales,
e
a
2
3
1
1 23
C1 3 + C2 1 + C3 4 = 3 1 4
4
7
−1
−1 4 7
C1
C2
C3
(he puesto las l´
ıneas verticales en la matriz para que se observen claramente las columnas, no
porque se escriban as´ las matrices).
ı
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es lo mismo que realizar la descomposici´n del t´rmino
o
e
independiente como combinaci´n lineal de las columnas de la matriz. Por ejemplo
o
1 23
x
2
3 1 4 y = 4
−1 4 7
z
−3
es lo mismo que encontrar x, y, z de forma
1
x 3 +y
−1
que
2
3
2
1 +z 4 = 4
4
7
−3
Cuando n vectores de Rn son linealmente independientes, lo que estamos diciendo es que
C1 p1 + . . . + Cn pn = 0
=⇒
1
C1 = . . . = Cn= 0.
Escribiendo los vectores como las columnas de una matriz
P = p1 . . . pn
la independencia lineal equivale a que
C
1
.
.
p1 . . . pn
. =
Cn
0
.
.
.
0
C1
.
. =
.
Cn
=⇒
0
. ,
.
.
0
o bien
Pu = 0
Por ser n vectores de
elsistema
Rn
=⇒
u = 0.
(esto es muy importante), esto implica que, cualquiera que sea u0 ,
P u = u0
tiene soluci´n unica, es decir, podemos escribir de forma unica
o´
´
C1 p1 + . . . + Cn pn = u0 .
Esto es lo mismo que decir que {p1 , . . . , pn } es una base de Rn .
2. El producto de matrices
Sean A y B dos matrices n × n. Podemos pensar en B como una lista de sus columnas
B = b1 . . . bn .
As´
ı
A B = A b1 . . . bn = A b1 . . . A bn .
El producto A B se puede entender como la matriz cuyas columnas son A b1 , . . . , A bn , es decir,
la colecci´n de los productos de A por las columnas de B . A su vez, cada uno de estos productos
o
es una combinaci´n lineal de las columnas de A.
o
Esto puederesultar algo confuso a primera vista, pero es muy simple. Si escribo
2 −1
3
3
6 −2
2
4
0
10
21
=
8
estoy escribiendo a la vez
2 −1
3
3
6
2
=
0
21
2 −1
y
3
2
2
4
−2
=
10
8
.
Fij´ndonos ahora en las columnas de la matriz de la izquierda, tenemos que
a
3
2
3
+6
−1
2
=
0
y
21
4
2
3−2
−1
2
=
10
8
.
3. Leyendo P −1 AP
Supongamos que A, P y B son matrices cuadradas que cumplen la siguiente relaci´n
o
P −1 A P = B.
Pensaremos en P organizada por columnas
P = p1 . . . pn .
Simplemente por escribir P −1 en la relaci´n anterior, estamos presuponiendo que los vectores
o
{p1 , . . . , pn } son linealmente independientes....
ALGUNAS CUESTIONES SOBRE MATRICES
Advertencia. Puesto que lo que nos interesa en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales
est´ relacionado con las matrices cuadradas exclusivamente, voy a exponer una serie de ideas
a
unicamente en el caso de las matrices cuadradas. Creo que es bastante obvio que lo que cuento
´
sobre producto de unamatriz por un vector y producto de dos matrices es extrapolable al caso
general sin ninguna dificultad. Cuidado en cambio con la idea de que la independencia lineal
de n vectores de Rn implica que forme una base de Rn . Esto ocurre porque hay tantos vectores
como componentes.
1. El producto matriz por vector
El producto de una matriz por un vector realiza
las columnas de la matriz. As´por ejemplo
ı,
3
1 23
3 1 4 2 =3
−6
−1 4 7
de forma compacta una combinaci´n lineal de
o
1
2
3
3 + 2 1 − 6 4 .
−1
4
7
Tambi´n, con coeficientes m´s generales,
e
a
2
3
1
1 23
C1 3 + C2 1 + C3 4 = 3 1 4
4
7
−1
−1 4 7
C1
C2
C3
(he puesto las l´
ıneas verticales en la matriz para que se observen claramente las columnas, no
porque se escriban as´ las matrices).
ı
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es lo mismo que realizar la descomposici´n del t´rmino
o
e
independiente como combinaci´n lineal de las columnas de la matriz. Por ejemplo
o
1 23
x
2
3 1 4 y = 4
−1 4 7
z
−3
es lo mismo que encontrar x, y, z de forma
1
x 3 +y
−1
que
2
3
2
1 +z 4 = 4
4
7
−3
Cuando n vectores de Rn son linealmente independientes, lo que estamos diciendo es que
C1 p1 + . . . + Cn pn = 0
=⇒
1
C1 = . . . = Cn= 0.
Escribiendo los vectores como las columnas de una matriz
P = p1 . . . pn
la independencia lineal equivale a que
C
1
.
.
p1 . . . pn
. =
Cn
0
.
.
.
0
C1
.
. =
.
Cn
=⇒
0
. ,
.
.
0
o bien
Pu = 0
Por ser n vectores de
elsistema
Rn
=⇒
u = 0.
(esto es muy importante), esto implica que, cualquiera que sea u0 ,
P u = u0
tiene soluci´n unica, es decir, podemos escribir de forma unica
o´
´
C1 p1 + . . . + Cn pn = u0 .
Esto es lo mismo que decir que {p1 , . . . , pn } es una base de Rn .
2. El producto de matrices
Sean A y B dos matrices n × n. Podemos pensar en B como una lista de sus columnas
B = b1 . . . bn .
As´
ı
A B = A b1 . . . bn = A b1 . . . A bn .
El producto A B se puede entender como la matriz cuyas columnas son A b1 , . . . , A bn , es decir,
la colecci´n de los productos de A por las columnas de B . A su vez, cada uno de estos productos
o
es una combinaci´n lineal de las columnas de A.
o
Esto puederesultar algo confuso a primera vista, pero es muy simple. Si escribo
2 −1
3
3
6 −2
2
4
0
10
21
=
8
estoy escribiendo a la vez
2 −1
3
3
6
2
=
0
21
2 −1
y
3
2
2
4
−2
=
10
8
.
Fij´ndonos ahora en las columnas de la matriz de la izquierda, tenemos que
a
3
2
3
+6
−1
2
=
0
y
21
4
2
3−2
−1
2
=
10
8
.
3. Leyendo P −1 AP
Supongamos que A, P y B son matrices cuadradas que cumplen la siguiente relaci´n
o
P −1 A P = B.
Pensaremos en P organizada por columnas
P = p1 . . . pn .
Simplemente por escribir P −1 en la relaci´n anterior, estamos presuponiendo que los vectores
o
{p1 , . . . , pn } son linealmente independientes....
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