Vibracion

Proceso estocástico

Se denomina proceso estocástico a toda variable que evoluciona a lo largo del tiempo de forma total o parcialmente aleatoria.

Un ejemplo, es la temperatura en Mostoles, aumenta durante el día y baja durante la noche; aumenta en el verano y desciende mucho en invierno (“nueve meses de invierno y tres de infierno”, que se dice del clima castellano); su variación esparcialmente determinística y parcialmente aleatoria

Características de un proceso estocástico.

Del mismo modo que en una variable unidimensional X, podemos calcular su media, su varianza y otras características, y en variables n-dimensionales obtenemos un vector de medias, matriz de covarianzas, etc., en un proceso estocástico podemos obtener algunas características que describen sucomportamiento: medias, varianzas y covarianzas. Puesto que las características del proceso pueden variar a lo largo de t estas características no serán parámetros sino que serán funciones de t. Así:

Definición: Llamaremos función de medias del proceso a una función de t que proporciona las medias de las distribuciones marginales para cada instante t
μt = E(Xt)

Definición: Llamaremos función de varianzasdel proceso a una función de t que proporciona
las varianzas de las distribuciones marginales para cada instante t
σ2t = V ar(Xt)

Definición: Llamaremos función de autocovarianzas del proceso a la función que proporcionala covarianza existente entre dos instante de tiempo cualesquiera:
Cov(t, s) = Cov(s, t) = Cov(Xt,Xs)

Definición: Llamaremos función de autocorrelación a laestandarización de la función decovarianzas: ρt,s =Cov(t, s)/σtσs

En general, estas dos últimas funciones dependen de dos parámetros (dos instantes). Una condición de estabilidad que aparece en muchos fenómenos es que la dependencia sólo dependa, valga la redundancia, de la ”distancia” entre ellos y no del instante considerado.
En estos casos tendremos:
Cov(t, t + j) = Cov(s, s + j) = γj j = 0,±1,±2, ...Por otro lado, si estudiamos casos concretos como la evolución de las ventas de una empresa o la concentración de un contaminante, sólo disponemos de una única realización y aunque el proceso estocástico exista, al menos conceptualmente, para poder estimar las características ”transversales” del proceso (medias, varianzas, etc..) a partir de la serie es necesario suponer que estas permanecen”estables” a lo largo de t. Esta idea nos conduce a lo que se entiende por condiciones de estacionariedad de un proceso estocástico (o de una serie temporal).

Los procesos estocásticos pueden ser clasificados en:

Según el tiempo y las variables en:

- Tiempo discreto: Cuando el valor de la variable sólo puede cambiar en una serie de momentos determinados del tiempo (por ejemplo, los sorteos de lalotería tienen lugar en determinadas fechas).

- Tiempo continuo: Cuando el valor de la variable puede cambiar en cualquier momento del tiempo (la temperatura, por ejemplo).

Otra forma de clasificar a los procesos estocásticos es:

- Variable discreta: La variable sólo puede tomar determinados valores o estados discretos (los mercados financieros cotizan sus activos con unos precios queoscilan: de céntimo de euro en céntimo de euro, o en 1/8 de punto, etc.).

- Variable continua: La variable puede tomar cualquier valor comprendido en un rango (la temperatura, por ejemplo)

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Formalmente hablando, un proceso estocástico se define por una ley de probabilidad que gobierna la evolución de una variable x (temperaturas, rendimientos, variación de los tipos de interés etc.) alo largo de un horizonte temporal t. De tal manera que para diferentes momentos del tiempo t1 < t2 < t3... podemos obtener la probabilidad de que los valores correspondientes x1, x2, x3... se sitúen dentro de un rango específico como, por ejemplo:
Prob [a1 < x1 ≤ b1]
Prob [a2 < x2 ≤ b2]
Prob [a3 < x3 ≤ b3]

Cuando se llegue al momento t1 y observemos el valor correspondiente de x1,...