Vibraciones

Vibraciones
Movimiento armónico simple. Una partícula sujeta a una fuerza del tipo ley de Hooke: F = -kx, describe un movimiento armónico simple en donde k es una constante y x es la posición de la partícula con respecto a la posición de equilibrio. Dicha ecuación la satisfacen los resortes, ligas y la mayoría de los metales, dentro del llamado límite elástico. Sin tomar en cuenta las fuerzas defricción, si se desplaza m hasta una deformación de magnitud A y se suelta, de la experiencia se sabe que el cuerpo oscilará alrededor del punto de equilibrio (x = 0) y se moverá entre A y –A. Al variar la posición de la partícula la fuerza de restitución, llamada así porque trata de que el resorte recupere su forma original, será variable y por lo tanto también lo será la aceleración y lavelocidad. El movimiento es periódico y por tanto lo es la velocidad y la aceleración, la primera es máxima en la posición de equilibrio y cero en A y -A; la aceleración es máxima en los extremos y cero en el origen. Amplitud de oscilación: (A) es el máximo desplazamiento de la posición de equilibrio. Se mide en unidades de longitud. Período: (T) tiempo necesario para hacer una oscilación completa. Semide en unidades de tiempo. Frecuencia: (f) equivale al número de oscilaciones dadas en la unidad de tiempo, es igual al inverso del período. El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme sobre uno de sus diámetros como se aprecia en la siguiente figura. La partícula puntual describe un movimiento circular uniforme (ω = constante) en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, ocupa en un momento dado las posiciones a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, y sus proyecciones sobre el diámetro de la circunferencia son respectivamente, a', b', c', d', e', f ', g', h', i', j'. Sin embargo aunque la partícula describe una trayectoria circular con una velocidad constante en magnitud, su proyección sobre el diámetro se mueve con una velocidad cuya magnitud dependede la posición, como se muestra a continuación: Si el radio de la circunferencia es A, la posición de la proyección en un tiempo t es: x = A cos(ωt + δ) derivando con respecto al tiempo: v=

derivando con respecto al tiempo: a=

dx = -A sin(ωt + δ) dt

pero, θ = ωt + δ. Donde ω es la velocidad angular y δ es la constante de fase, igual a θ (0).

dv = -Aω2cos(ωt + δ) dt

Vibración libreno amortiguada. La fuerza que actúa sobre el oscilador armónico está dada por F = -kx y si aplicamos la 2ª ley de Newton al oscilador, teniendo en cuenta que a = -kx =m Dividiendo entre m y organizando:

d2x : dt 2

d2x dt 2

d2x k + x=0 2 m dt
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, cuya solución es: x (t) = A cos (ωt + δ) Sustituyendo esta solución enla ecuación diferencial, tenemos: ω =

k . m

Para determinar el período, se debe tener en cuenta que el movimiento se repite después de transcurrir un período, por lo tanto la posición del oscilador debe ser la misma para t y para un tiempo t + T. Esto sucede sólo si el argumento se incrementa en 2π, es decir: ωt + δ + 2π = ω (t +T) + δ De donde se obtiene: T=

2π

ω

= 2π

m k

Elvalor de la amplitud y la constante de fase, se obtienen a partir de las condiciones iniciales para la velocidad y la posición del oscilador: X0 = x (0) = A cosδ V0 = v (0) = -Aω sinδ Dividiendo miembro a miembro a miembro ambas ecuaciones

V0 ω sin δ =− X0 cos δ

De donde: tg δ = -V0/X0ω. Elevando al cuadrado las soluciones para X0 y V0 y sumando ambas ecuaciones obtenemos el valor da A: A=Para la velocidad del oscilador, queda: v (t) = ω2[A2 – A2cos2(ωt + δ)] = ω A − x
2 2

X0 +

V0

ω0

Método de energía. Ya que la única fuerza que actúa sobre el oscilador es la del resorte, la cual es conservativa con una energía potencial V(x) igual a ½ kx2, la energía mecánica del oscilador armónico está dada por: E = ½ mv2 + ½ kx2 = ½ m (ω A − x )2 + ½ kx2 = ½ kA2 Esta ecuación es...