Victor

´
Grupo: Analisis
´
Integrantes: V´
ıctor De La Hoz, Leidy Katherine Riveros, Daniela Perez
Escuela Colombiana de Ingenier´ Julio Garavito
ıa
´
´
Introduccion al programa de Matematicas
Cuarto taller
2013-1

Inducci´n Matem´tica
o
a
Punto 1:
Demuestre por inducci´n sobre n que cada una de las siguientes f´rmulas son v´lidas para todos
o
o
a
los n´meros naturales. Si cree quealguna de ellas es falsa, intente construir un contra ejemplo:
u
a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
Demostraci´n:
o
I. Base de la Inducci´n. Debemos probar que para los primeros valores de n, p(n) es
o
verdadera, en efecto:
Para n = 1, se tiene que: 1 = 1
; 12 = 1
Para n = 2, se tiene que: 1 + (2(2) − 1) = 4
; 22 = 4
Para n = 3, se tiene que: 1 + 3 + (2(3) − 1) = 1 ; 32 = 9
II.Hip´tesis. Supongamos que para alg´n k ∈ N, se tiene que p(k) es verdadero, esto
o
u
es suponer que 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2
III. Paso inductivo: Queremos demostrar que
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1)
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1)

n = k + 1, es verdadero, y sabemos que:
= k2
= k 2 + (2(k + 1) − 1)
= k 2 + (2k + 1)
= k 2 + 2k +1
= (k + 1)2
Que es precisamente lo que quer´
ıamos demostrar.

1
b) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1)
3
Demostraci´n:
o
I. Base de la Inducci´n. Debemos probar que para los primeros valores de n, p(n) es
o
verdadera, en efecto:
Para n = 1, se tiene que: 12 = 1

;

Para n = 2, se tiene que: 12 + (2(2) − 1)2 = 10

;

Para n = 3, se tiene que: 12 + 32 + (2(3)− 1) = 35 ;

1
3
(1)(2(1) − 1)(2(1) + 1) = = 1
3
3
1
30
(2)(2(2) − 1)(2(2) + 1) =
= 10
3
3
1
(3)(2(3) − 1)(2(3) + 1) = 35
3

II. Hip´tesis. Supongamos que para alg´n k ∈ N, se tiene que p(k) es verdadero, esto
o
u
2 + 32 + 52 + · · · + (2k − 1)2 = 1 k(2k − 1)(2k + 1)
es suponer que 1
3
1

III. Paso inductivo: Queremos demostrar que n = k + 1, es verdadero, y sabemos que:12 + 32 + 52 + · · · + (2k − 1)2

=

12 + 32 + 52 + · · · + (2k − 1)2 + (2(k + 1) − 1)2

=

12 + 32 + 52 + · · · + (2k − 1)2 + (2k + 1)2

=
=
=
=
=
=

1
k(2k − 1)(2k + 1)
3
1
k(2k − 1)(2k + 1) + (2(k + 1) − 1)2
3
1
k(2k − 1)(2k + 1) + (2(k + 1) − 1)2
3
1
k(2k + 1)(2k + 1) + (2k + 1)2
3
1
(2k + 1)[k(2k − 1) + 3(2k + 1)2 ]
3
1
(2k + 1)[2k2 + 5k + 3]
3
1
(2k +1)(k + 1)(2k + 3)
3
1
(k + 1)(2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1)
3

Que es precisamente lo que quer´
ıamos demostrar.

1
c) 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7)
6
Demostraci´n:
o
I. Base de la Inducci´n. Debemos probar que para los primeros valores de n, p(n) es
o
verdadera, en efecto:
Para n = 1, se tiene que: (1)(1 − 2) = 3

;

Para n = 2, se tiene que: 3 +(2)(2 + 2) = 11

;

Para n = 3, se tiene que: 3 + 11 + (3)(3 + 2) = 26 ;

1
(1)((1) + 1)(2(1) + 7) =
6
1
(2)((2) + 1)(2(2) + 7) =
6
1
(3)((3) + 1)(2(3) + 7) =
6

18
=3
6
66
= 11
6
18
= 13 · 2 = 26
6

II. Hip´tesis. Supongamos que para alg´n k ∈ N, se tiene que p(k) es verdadero, esto
o
u
1
es suponer que 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + k(k + 2) = k(k + 1)(2k + 7)
6III. Paso inductivo: Queremos demostrar que n = k + 1, es verdadero, y sabemos que:
1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + k(k + 2))

=

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + k(k + 2)) + (k + 1)((k + 1) + 2)

=

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + k(k + 2)) + (k + 1)(k + 3)

=
=
=
=
=

Que es precisamente lo que quer´
ıamos demostrar.
d) 1 + r + r2 + · · · + rn =
Demostraci´n:
o

1
k(k + 1)(2k+ 7)
6
1
k(k + 1)(2k + 7) + (k + 1)((k + 1) + 2))
6
1
k(k + 1)(2k + 7) + (k + 1)(k + 3)
6
1
(k + 1)[k(2k + 7) + 6(k + 3)]
6
1
(k + 1)[2k2 + 13k + 18]
6
1
(k + 1)(k + 2)(2k + 9)
6
1
(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 7)
6

1 − rn+1
, r ∈ R, r = 1
1−r

I. Base de la Inducci´n. Debemos probar que para los primeros valores de n, p(n) es
o
verdadera, en efecto:
Para n = 1,...