Wavelets

ANALISIS DE SEÑALES I

WAVELETS

ANALISIS DE SEÑALES A PARTIR DE LAS ONDAS

CLAUDIA BAEZ, NICOLAS BOTERO DEL CHIARO

CORPORACION UNIVERSITARIA UNITEC,

Abstract. The wavelet analysis techniques using variable-sized regions for the analysis of the signals left unused for long time intervals where a lot of information that needs infrequent and small regions where the high frequencyinformation needs. The wavelet analysis is able to show aspects of the signal that other techniques cant find.

HISTORIA

En términos históricos, como grandes contribuyentes de la teoría de Wavelets tenemos a Alfred Haar quien con su tesis doctoral estudió los sistemas ortogonales de funciones donde más tarde estudio arduamente las ecuaciones diferenciales parciales, escribió tambiénsobre las aproximaciones de Chebyshev y desigualdades lineales. Entre 1917 y 1919 trabajó en el cálculo variacional.

Adicional a esto en los años 88 y 89, los trabajos de Daubechies, que construye Wavelets de soporte compacto y Mallat que estableció la conexión con el procesado discreto de la señal determinaron la gran difusión de la trasnformada wavelets en el ámbito del procesado de laseñal.

II.DEFINICION Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

Una wavelet es una onda de duración efectiva limitada que tiene un valor promedio cero.

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Mientras que el análisis de Fourier consiste en descomponer una señal en funciones de senos de varias frecuencias,

el análisis de wavelets consiste en descomponer una señal en versiones escaladas móviles de la wavelet original (“madre”).Sólo viendo wavelets y senoides se puede ver intuitivamente que las señales con cambios bruscos se pueden analizar mejor con una wavelet irregular, de la misma manera que ciertas comidas se comen mejor con un tenedor que con una cuchara.

Propiedades matemáticas de las Wavelets:

• Soporte compacto: (Intervalo acotado derivado: #valores está solo en un pedacito): número de valores que sondiferentes de cero.

• La localización en el tiempo y la frecuencia: permite ubicar las wavelets en singularidad tanto en tiempo como en frecuencia,  se pueden ajustar a los cambios de frecuencia de los complejos QRS.

• Regularidad: (derivable: continuamente diferenciable) como son funciones suaves permiten efectuar filtrados.

• Momento de desvanecimiento: define lacomplejidad de la señal de la wavelet . útil en la detección de cruces por cero. Entre más número de muestras más, se adapta los cambios bruscos.

Corolario sobre funciones crecientes y decrecientes.

Sea  ECG una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). 

• Si ECG`(x) > 0 para toda x de (a,b), ECG es creciente en [a,b],

• Si ECG`(x) < 0 para toda x de (a,b), ECG es decrecienteen [a,b].

 

Teorema Máximos y mínimos.

Considérese la función ECG(x) si es derivable en c y está definida en un intervalo abierto que contiene a c, y si ECG(c) es un valor máximo local o un mínimo local de ECG, entonces ECG’ (c)=0.

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Figura 1.11 Máximos y mínimos de un señal ECG

Teorema Criterio del punto de deflexión

El punto a es un punto de inflexión de la funcióncontinua ECG siempre que exista un intervalo abierto I (QRS), que contenga a a  tal que, para los puntos x de I (QRS), se completen.

• ECG’’(x) > 0 si x < a   y  ECG’’(x) < 0 si x > a, o 

• ECG’’(x) < 0 si x < a   y  ECG’’(x) > 0 si x > a.

“El hecho de que un punto en el que la segunda derivada cambie de signo sea un punto de inflexión se sigue de inmediato del teorema I y de ladefinición de punto de inflexión.  

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Figura 1.12

Teorema Concavidad

Supóngase que ECG’(x) es diferenciable en un intervalo abierto que contenga a a. Entonces ECG(x)

• Cóncava hacia arriba en a si ECG’’(a) > 0;

• Cóncava hacia abajo en a si ECG’’(a) < 0.

En el caso de la transformada en tiempo corto de Fourier (STFT) aplica una función g(t) utilizada como ventana de...