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Aplicaciones de vectores
Coor de na das de l punto me di o de un s e gme nto

L a s co o rde n ad a s d e l p u n to m ed io de u n se gm e nt o son la se m isum a d e la s co o rd en a da s de lo s e xt re m o s.

E je mp lo : Ha lla r la s co o rde na d a s d e l pu n to m ed io d e l se gm en t o A B .

Condi c i ón pa ra qué tre s puntos e sté n a l i nea dos L o s p un t o s A (x 1 ,y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) y C( x 3 , y 3 ) e s tá n a l i ne a dos sie m p re qu e l os ve c tore s o cu rre cua nd o su s te nga n la m i s ma son

di re c ci ón .

E sto

coo rd en a da s

p ro p o rcio na le s.

Ca lcu la r e l va lo r de a p a ra qu e lo s pu n t o s e sté n a lin e ad o s.

1

S i mé tr i c o de un punto re s pe c to de otro

S i A ' e s e l sim é t rico d e Are spe ct o d e M, en t on ce s M e s e l p u n to me d io d e l se gm e n to A A '. P or lo qu e se ve rif ica rá igu a ld a d :

E je mp lo : Ha lla r e l sim é t rico d e l pu n t o A (7 , 4 ) re sp e cto d e M(3 , - 1 1 ).

2

Ecuaciones de la recta
E c ua ci ón ve c tori a l De fi ni m os una rec ta r c omo e l c onjunto de l os puntos de l pla no, al i ne a dos c on un punto P y c onuna di rec c i ón da da . S i P (x 1 , y 1 ) e s u n p u n to de la re cta r, e l ve ct o r d ire cció n qu e e s igu a l a t ie n e igu a l , lu e go

m u lt ip lica d o

p o r u n e sca la r:

E je mp lo : Un a re ct a p a sa por e l p u nt o A ( -1 , 3 ) y t ie n e u n ve ct o r dire ct o r E scrib ir su e cua ció n ve ct o ria l. = (2 , 5 ).

E c ua ci one s pa ramé tri c as A p a rtir de la e cu ació n ve ct o ria l:

Re a liza n d o la s o pe ra cio n e s in d icad as se ob t ie ne :

3

L a igu a ld ad de ve ct o re s se d e sd o b la e n la s d o s igu a ldad e s e sca la re s:

Un a re ct a p a sa p or e l p u n to A (-1 , 3 ) y t ie n e u n ve ct o r d ire ct o r (2 , 5 ). E scrib ir su s e cu a cion e s p a ramé t rica s.

=

E c ua ci ón c onti nua de larec ta S i d e la s e cua cio ne s p a ram ét rica s de sp e jam o s e l pa rám e t ro k.

Y si igu a la m o s, que d a :

Un a re cta pa sa po r e l pu n to A (-1 , 3 ) y t ie n e u n ve ct o r d ire ct o r (2 , 5 ). E scrib ir su ecu a ció n co n t in u a.

=

4

E c ua ci ón punto -pe ndi e nte de l a rec ta P e ndi e nte La pe ndi e nte de una re c ta es l a ta nge nte de l á ngul oque forma l a r e c ta c on l a di re cc i ón pos i ti va de l e je O X .

P e ndie nte da do e l á ngul o

P e ndi e nte da do el ve c tor di re c tor de l a rec ta

Pendi e nte da dos dos puntos

S i e l á ngul o qu e fo rm a la re ct a co n la p a rte p o sit iva d e l e je OX e s a gudo , la pendi e nte e s pos i ti va y cre c e a l cre ce r e l á n gulo .

S i e l á ngul o qu e f orm a la re cta con la p a rt e p o sit iva d e l e je OX e s obtus o , la pe ndi e nte e s ne ga ti va y d e cre ce a l cre ce r e l ángu lo .

5

E c ua ci ón punto -pe ndi e nte P a rt ie nd o de la e cu a ció n co n t in u a la re ct a

Y qu it a n d o de no m in a do re s:

Y d e sp e jan d o:

Co m o

S e ob t ie ne :

E je mp lo s: Un a re ct a p a sa po r e l p un t o A (-1 ,3 ) y t ie n e u n ve ct o r d ire ct o r E scrib ir su e cua ció n pu n to pe n d ie n te . = (2 , 5).

Ha lla r la e cua ció n d e la re ct a qu e p asa n po r lo s pu n to s A ( -2 , -3 ) y B (4 , 2 ).

6

Ha lla r la e cu a ció n d e la re ct a que p asa n p o r A ( -2 , -3 ) y t e n ga u na in clin ación d e 45 °.

E c ua ci ón ge ne ra l de l a re c ta P a rt ie nd o de la e cu ació n co n t in u a la re ct a

Y qu it a n d o de no m in a do re s se o b t ie ne :

T ra spo n ien d o t é rmin o s:

Ha cie n d o

S e ob t ie ne

E st a e xp re sió n recib e e l n om b re de e cu a ció n ge ne ral o i mpl i c i ta de l a r e c ta . De e st a f o rm a se a co st umb ra a da r la re sp ue st a cua nd o se p ide la e cua ció n d e u n a re ct a .

La s c ompone...