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TRIGONOMETRIA
Definición:
El círculo con centro en el origen de coordenadas cuyo radio tenga por medida la unidad de longitud, se llamará, círculo trigonométrico.

Los ejes de coordenadas determinan cuatro cuadrantes en el plano y se designará con A el punto donde el círculo corta la parte positiva del eje OX.
y I

II

A x
III IV

Si en el círculo trigonométrico localizamos el ánguloagudo α , tal que tenga un lado AO, en correspondencia con la parte positiva del eje X ( posición normal ) y el otro lado O M 1 en el cuadrante YOX, el lado O M 1 interseca al círculo trigonométrico en el punto M, cuyas coordenadas son ( x, y ), así podemos definir el coseno, el seno y la tangente del ángulo agudo α .
y 1 P M (x, y ) y

α
O

A
H

x

x

cos α = x = x 1

sen

α=

y =y 1

tag α =

y x

Observe que seno corresponde a la ordenada y el coseno corresponde a la abscisa. Este resultado se generaliza para cualquier ángulo en el círculo trigonométrico, con el lado OA en posición normal (estándar). Las siguientes figuras ilustran situaciones en I y II cuadrante

y M 1 y = sen α
y = sen α

y M 1

α
x = cosα

A x
x = cosα

α
A x

Analicemosun ejemplo particular, un ángulo de 150º

y

90°

y

90°

( -x, y )
M y = sen α 180° 1 150° A 0° x

( x, y ) y 180° -x 1 30° x 150° y A 0°

x = cosα

Como y = sen 30º x = cos 30º

(1)

Aquí se observa que el lado terminal círculo trigonométrico en ( -x, y ), así que y = sen150º – x = cos 150º

interseca

al

(2) 1

Así que por (1) y (2) se tiene que y = sen 30º =sen150º x = cos 30º = – cos 150º

⇒

sen 30º = sen150º cos 30º = – cos 150º

o bien lo cual se puede decir que: sen150º = sen ( 180º - 30º ) = sen 30º (esto porque el seno en el primer y segundo cuadrante son positivos). cos 150º = cos( 180º - 30º ) = – cos 30º (esto porque el coseno en el segundo cuadrante es negativo). En general se tiene para ángulos en el II cuadrante

sen( 180º - A ) =sen A cos ( 180º - A ) = – cosA

Ejemplos:
Determine las razones trigonométricas del ángulo agudo seno, coseno , para los ángulos 120º y 135º.

Solución:
Para 120º se tiene a) sen120º = sen (180º – 60º ) = sen 60º
y y

-x = cos 60º = -cos 60º

120° 60° -x O

x

b) cos12º = cos( 180º – 60º ) = – cos 60º

y = sen60º

2

Para 135º se tiene
( -x, y )

y

a) sen135º = sen (180º – 135º ) = sen 45º -x = cos45º, x = - cos45º b) cos135º = cos( 180º – 135º ) = – cos 45º y = sen 45º
135° 45° O x

ÁNGULOS EN EL TERCER CUADRANTE
Estudiemos éste caso con el ángulo 255º, lo cual se puede expresar como 180º + 75º, esto es:

y 90°
y

180°

225° O 75°

x
75° -y

225° x

270°

( -x, y )

Así

y = sen 75º x = cos 75º (1)

- y = sen 255º - x = cos 255º (2)3

lo que se deduce de (1) y (2) sen 255º = sen ( 180º + 75º ) = – sen75º cos 255º = cos ( 180º + 75º ) = – cos 75º

Lo que podemos decir que

sen( 180º + A ) = – sen A cos ( 180º + A ) = – cosA

Ejemplos:
Deje en términos de los respectivos valores del seno y el coseno de un ángulo agudo los ángulos a) 227º b) 260º c) 265º

Solución:
a) sen( 227º ) = sen ( 180º + 47º ) = - sen 47ºcos 227º = cos ( 180º + 47º ) = - cos47º

b) sen 260º = sen ( 180º + 80º ) = - sen 80º cos 260º = cos ( 180º + 80º ) = - cos 80º

c) sen 265º = sen ( 180º + 85º ) = - sen 85º cos 265º = cos ( 180º + 85º ) = - cos 85º

4

ANGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE
Veamos el análisis con el ángulo de 340º, lo cual podemos escribirlo 360º – 20º , así tenemos

90° y

90° y

340° 180°

20°

0° x340° 180°

20°

0° -y ( x, -y )

270°

270°

Así y = sen 20º x = cos 20º (1)

- y = sen 340º x = cos 340º (2 )

de ( 1 ) y ( 2 ) se tiene sen 340º = sen ( 360º - 20º ) = – sen 20º cos 340º = cos ( 360º - 20º ) = cos 20º

En forma general se tiene para ángulos en el IV cuadrantes

sen( 360º - A ) = – sen A cos ( 360º - A ) = – cosA

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Ejemplos:
Deje en términos de los...