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FUNCIONES.

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    
   x      f(x) =y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x), Se denomina recorrido de una función al conjunto delos valores reales que toma la variable y o f(x).
   x      

Conjunto inicia Conjunto final


Dominio Conjunto imagen o recorrido
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.R = {f (x) / x D}

COMPOSICION DE FUNCIONES.

La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g, se define como la composición de la función
f con la función g, a la función denotada f o g ( léase f composición g ),
Cuya regla de correspondencia es:

(f o g)(x) = f [g (x)]
Como por ejemplo:
Si tenemosdos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Donde su dominio está representado por el conjunto.
D (g o f) = {x D f / f(x) Dg}

Para obtener la regla decorrespondencia de la función f o g, según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f.


Así por ejemplo, sean las funciones f (x) = 4 x 2 −1 y g (x) = x, entonces, la regla de la función f o g se obtiene mediante la siguiente sustitución
(f o g)(x) = f [g (x)], por lo que

(f o g)(x) = f [] entonces

(f o g)(x) = 4 x – 1PROPIEDADES.
Las propiedades son las siguientes asociativas, conmutativas y función de identidad.
ASOCIATIVA.
Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se define como h o (g o f) = (h o g) o f
CONMUTATIVA.
La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, (g o f) y (f o g), son en general dos funciones distintas.
En el ejemplo anterior (g o f) (x) =6x + 1,sin embargo, (f o g) (x) = f [g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones (g o f) y (f o g) son distintas; se define (g o f) ≠ (f o g).
FUNCION DE IDENTIDAD.
La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) esel elemento neutro de la composición de funciones, se define; (f o i) = (i o f) = f.
ALGEBRA DE FUNCIONES.

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y contradominio, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:
Si dos funciones f y g están definidas para todos losnúmeros reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:
Suma:    (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Resta:    (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Multiplicación:  (f.g)(x) = f(x)g(x)
División:   (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Un ejemplo de cada definición por medio de...