XV OIMU 2012

Olimpiada Iberoamericana de Matem´atica Universitaria 2012

1. (3 puntos) Sea Z el anillo de los enteros. Los conjuntos Z, 2Z y 3Z son semigrupos con
respecto a la multiplicaci´on. ¿Cu´ales de ellosson isomorfos?
Nota: Recuerda que un semigrupo es un conjunto no vac´ıo con operaci´on binaria asociativa.
Dos semigrupos G y H son isomorfos si existe una biyecci´on f entre ellos tal que ella y suinversa preserven la operaci´on de semigrupo.
2. (4 puntos) Sea n un entero positivo y f : [0, 1] → R una funci´on continua, diferenciable en
(0, 1), con f (0) = 0 y f (1) = 1. Demuestra que existen nreales distintos α1 , . . . , αn tales que
n
∑
k=1

1
= n.
f ′ (αk )

3. (4 puntos) Encuentra todas las ternas (x, y, z) de enteros que satisfacen
x2 + 7y 2 = 2012z 2 .
4. (4 puntos) Analiza si lasiguiente serie converge o no y, en caso de que s´ı, calcula su valor:
∞
∑

(
arctan

n=0

1
1 + n + n2

)
.

5. (6 puntos) La matriz M es de 3 × 3 y de entradas enteras. Su determinante es 1. Muestraque existe un vector v ∈ Z3 tal que v T M v = 1.
NB. La pregunta 5 debi´o incluir la hip´otesis que la matriz es positiva definida. Por este
motivo y como existe un contraejemplo al problema como qued´oespecificado en el examen,
este problema no se consider´o para determinar puntajes en el concurso.
6. (6 puntos) Un conjunto de puntos es rifado si no hay 3 puntos alineados, no hay 4 puntos en
unamisma circunferencia y para cualesquiera 5 puntos distintos A, B, C, D y E los tri´angulos
ABC, ACD y ADE tienen circunradios distintos.
Muestra que si tenemos un conjunto rifado de 2012 puntos en elplano, entonces es posible
elegir 8 de ellos tales que todos los tri´angulos que se pueden hacer con cada tres de ellos tienen
circunradios distintos.
Nota: El circunradio de un tri´angulo ABC es elradio de la circunferencia que pasa por A,
B y C.

1

7. (7 puntos) Sea D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario en el plano complejo y 0 < a < 1
un n´
umero real. Supongamos que f : D → C es una...