Yanez

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá haciaarriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

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Raíces
Artículoprincipal: Ecuación de segundo grado
Las raíces o ceros de la función cuadrática:

son los valores de x, x1 y x2, para los que f(x) = 0.
Vienen dados según el valor del discriminante Δ definido como :
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo
.
* Una solución real doble si el discriminante es cero

* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:-------------------------------------------------
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

se puede factorizar como:

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de queel discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

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Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a elcoeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:
* Dado:

* Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

* Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

* Se factorizaformando el cuadrado de un binomio.

* sustituyendo:

* la expresión queda:

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Representación gráfica
[editar]Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independientede la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

tendremos que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

donde:

se le llama discriminante, Δ:

según el signodel discriminante podemos distinguir:

Discriminante positivo

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2.
Veamos por ejemplo la función:

que cortara el eje x cuando:

que tendrá por solución general:

en este caso:

que resulta:

Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:

y por tanto tiene dossoluciones:

operando:

Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.

Discriminante nulo

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
si la función cuadrática:

que cortara al eje de las x si:

su...