Zakladni Matematiky

ZÁKLADY TEORIE SVAZŮ
Radan Kučera, říjen 2003

Literatura • Doporučená: – L. Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha 1990 (kap. IX). • Další: – G. Birkhoff, T. C. Bartee: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava 1981 (kap. 9). – G. Birkhoff, S. Mac Lane: Prehľad modernej algebry, Alfa, Bratislava 1979 (kap. 11). – A. G. Kuroš: Kapitoly z obecné algebry, Academia, Praha 1977 (kap. IV). – S. MacLane, G. Birkhoff: Algebra, Alfa, Bratislava 1974 (kap. XIV). • Hlubší: – R. Faure, E. Heurgonová: Uspořádání a Booleovy algebry, Academia, Praha 1984 (kap. II-V). Při studiu z této knihy se však nedejte zmást ani definicí zobrazení uvedenou v kapitole I ani tiskovými chybami, třeba opačně napsanými nerovnosti v Lemma 2 na str. 88. Úvodní zamyšlení o volbě definic. Většina pojmů, se kterými sesetkáváte na matematických přednáškách, jsou pojmy, na jejichž definici se matematikové v průběhu doby jednoznačně shodli. Často to bývá ta evidentně nejvhodnější ze všech variant, které se nabízely. V některých případech však volba není tak zřejmá: nabízí se najednou více vhodných variant. Příkladem může být definice množiny přirozených čísel: máme považovat nulu za přirozené číslo nebo ne? Je jasné, žepříliš se obě varianty neliší, liší se jen ve znění některých vět, u nichž se v předpokladech nebo v tvrzeních musí ubrat či přidat požadavek nenulovosti, a ve znění některých navazujících definic, kde je třeba udělat totéž. V tomto případě jsme se přidali na stranu těch, kteří množinou přirozených čísel N nazývají množinu kladných celých čísel, tj. nulu za přirozené číslo nepovažujeme. 1

Druhýpodobný případ je případ okruhů, kdy někdo (tak jako my na přednášce) v definici vyžaduje, aby každý okruh měl jedničku (a pak tedy také požaduje, aby tuto jedničku obsahoval i každý podokruh okruhu a aby homomorfismus okruhů zobrazil jedničku jednoho okruhu na jedničku druhého okruhu). V jiném přístupu se definují okruhy bez požadavku jedničky a o předchozím speciálním případě se mluví jako o okruhu sjedničkou. Je asi každému jasné, že se nedá říci, která z obou variant je ta správná. Správné jsou obě, jen je nezbytné se zvolené definice držet, tj. ve všech následujících úvahách užívat zvolenou definici. Je na tom dobře vidět i tvořivost v matematice: matematik si volí definice do značné míry svobodně a ze zvolených definic pak odvozuje řadu tvrzení o popisovaných objektech. Přitom definice volí sohledem na to, aby popisované objekty odpovídaly jeho představám o nich a aby v odvozované teorii vycházela tvrzení co možná nejelegantněji. Zde je asi měřítkem elegance to, zda tvrzení lze snadno formulovat bez nutnosti probírat různé speciální případy zvlášť. Podobnou situací, kdy není zcela jasné, jak definici formulovat, je případ prázdné struktury. Máme připustit, aby například grupoid mohl mítza nosnou množinu množinu prázdnou? Ti, kteří zastávají názor, že grupoid má mít neprázdnou nosnou množinu, zdůvodňují svůj postoj tím, že grupoid na prázdné nosné množině je těžké si představit. A že konec konců tím, že tento případ připustíme, získáme jen velmi nezajímavý objekt, o kterém je ihned všechno známo. Jak si vlastně představit grupoid na prázdné množině? Operace na množině G jezobrazení G×G → G. Jestliže G = ∅, pak G×G, jakožto množina uspořádaných dvojic prvků z G, je též prázdná. Připomeňme, co je zobrazení množiny A do množiny B. Je to uspořádaná trojice (A, B, f ), kde f je podmnožina kartézského součinu A × B, v níž pro každé a ∈ A existuje právě jedna uspořádaná dvojice s první složkou a. Je-li tedy A = ∅, pak pro libovolnou množinu B takové zobrazení je jediné: f jetaké prázdná množina. Je-li naopak A = ∅ a současně B = ∅, pak takové zobrazení neexistuje. Proto tedy na nosné množině G = ∅ máme jediný grupoid, jehož (jedinou možnou) operací na G je prázdné zobrazení, tj. trojice (∅, ∅, ∅). A v čem spočívá výhoda toho považovat prázdnou množinu spolu s prázdným zobrazením za grupoid? Jisté výhody se začnou objevovat až v okamžiku, kdy definujeme podgrupoid...