ZIvot

COINTEGRACION - ZIVOT

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Febrero 2014

*

El presente es una traducci´n de una de las notas de clase del Profesor ERIC ZIVOT - University of Washington
o

1

COINTEGRACION

Figura 1: titulo de la imagen

Los modelos VAR discutido hasta ahora son apropiadas para modelar datos I(0)1 , como
rendimientos de los activos o de las tasas de crecimiento de las series temporalesmacroecon´micas .
o
La teor´ econ´mica , sin embargo , a menudo implica relaciones de equilibrio entre las de
ıa
o
variables de series temporales que se describen mejor como I(1.
Del mismo modo, los argumentos de arbitraje implica que la I(1) los precios de ciertas
series de tiempo financieras est´n vinculadas .
a
El concepto estad´
ıstico de cointegraci´n se requiere para dar sentido a losmodelos de
o
regresi´n y modelos VAR con I(1) de datos.
o
1

I(0) proceso integrado de orden cero, lo que significa que la serie es estacionaria

2

REGRESIONES ESPURIAS
Si alguna o todas las variables en una regresi´n son I(1), entonces los resultados estad´
o
ısticos
habituales pueden o no tener validez. Un caso importante en el que los resultados estad´
ısticos
habituales notienen validez es la regresi´n espuria y esto se da cuando todos los regresores son
o
I(1) y no cointegran . Es decir, no hay ninguna combinaci´n lineal de las variables I(1) que den
o
como resultado un proceso I(0).
EJEMPLO:

Granger-Newbold JOE (1974)

Consideremos 2 procesos I(1) tales como y1t e y2t , independientes y no cointegrados. Y ademas

t

∼ RBG

2

yit = yit−1 +
it

it,

∼ RBG(0, 1) i = 1, 2

Estimamos la regresi´n en niveles y en diferencias
o
y1 = 6,74 + 0,40.y2 ,
(0,39)

(0,05)

y1 = −0,06 + 0,40.
(0,07)

2

R2 = 0,21

(0,05)

RBG es conocido como proceso ruido blanco gausiano

3

y2 ,

R2 = 0,00

´
´
IMPLICACION ESTAD´
ISTICA DE LA REGRESION ESPURIA
Tenemos que Yt = (y1t , · · · , ynt ) denota un vector de series de tiempoI(1)3 con dimension
(n x 1) y que no est´n cointegradas. Definamos
a

Yt = (y1t , Y2t ) ,
y considerar la regresi´n de y1t sobre Y2t tenemos
o

ˆ
y1t = β2 Y2t + ut ,
ˆ
Donde y1t no se cointegra con Y2t
Verdadero valor de β2 es cero
Lo anterior es una regresi´n espuria y ut ∼ I(1).
o
ˆ
ˆ
Los siguientes resultados sobre el comportamiento de β2 en la regresi´n espuria se deben a
oPhillips (1986):
ˆ
β2 no converge en probabilidad a cero, pero en lugar converge en distribuci´n a una variable
o
aleatoria no normal no necesariamente centrada en cero . Este es el fen´meno de regresi´n
o
o
espuria.
Los El t-estad´
ıstico usual del MCO 4 para testear que los elementos de β2 son cero divergen
a ±∞ cuando T → ∞. Por lo tanto , con una muestra lo suficientemente grandeparecer´ que Yt son cointegradas cuando no lo son si se utiliza la habitual inferencia normal
a
asint´tica .
o
El R2 habitual de la regresi´n converge a la unidad cuando T → ∞ de modo que el modelo
o
parece estar bien especificado cuando en realidad no lo esta.
Regresi´n con datos I(1) s´lo tiene sentido cuando hay cointegracion.
o
o

3
4

I(1) proceso integrado de orden 1, la serienecesita ser diferenciada una vez para volverse estacionaria
MCO, minimo cuadrados ordinarios

4

´
INTUICION
Recordemos, con datos I(1)los momentos de la muestra convergen a las funciones del movimiento browniano. Consideremos 2 procesos I(1) tales como y1t e y2t , independienes y no
cointegrados. Y ademas con

it

5

∼ RB

y1t = y1t−1 +

it ,

it

2
∼ RB(0, σi ), i = 1, 2Entonces
T

1

T −2

2
2
yit ⇒ σi

Wi (r)2 dr,

i = 1, 2

0

t=1
T

1

T −2

y1t y2t ⇒ σ1 σ2

W1 (r)W2 (r)dr
0

t=1

Donde W1 (r) y W2 (r) son proceso Wiener independientes.
En la regresi´n
o
ˆ
y1t = βy2t + uit
ˆ
Phillips deriva el siguiente resultado de convergencia utilizando la FCLT y la CMT
−1

T

ˆ
β=

T

−2

2
y2t
t=1
1

⇒

sigma2
i...