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EJERCICIOS SELECTIVIDAD
MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE ECUACIONES

0 3 4


1. Dada la matriz A=  1 −4 −5  Demuestra que se verifica A3 = − I , siendo I la matriz
 −1 3 4 


identidad de orden 3. Justifica que A es invertible y halla su inversa. Calcula razonadamente A100 .
2. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A =

A3 . A−1 −2A

1y B = −2 . Halla:
2

AB t , siendo B t la matriz traspuesta de B. El rango de B.

 λ +1 0 

−1
 1

3. Dada la matriz A = 

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3 A no tiene inversa.
b) Para λ = 0 , halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A =
2I

a b
 se sabe que det(A) = 4. Se pide:
c d 
2b 
 2a
a) Halla det(−3At) y det 
 . Indicalas propiedades que utilizas.
 −3c −3d 

4. De la matriz A = 

(

b) Calcula det A−1 ⋅ At

)

c) Si B es una matriz cuadrada tal que B3 = I, siendo I la matriz identidad halla, det(B).

1 0 0 
 1 0
3 1 2 


5. Sean las matrices A = 
 , B=  0 −1 −1 y C = 
 . Calcula la matriz X que
0
1
−
2
 −1 1 


0 1 2 


cumpla la ecuación AXB = C .
 5−4 2 


=
A  2 −1 1  a) Comprueba que se verifica 2A − A2 =
6. Sea la matriz
I . b) Calcula A−1 .
 −4 4 −1


(Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado a)).

 −1 2 
 −3 0 
−1
 y B=
 a) Calcula A . b) Resuelve la
−
0
1
2
1





7. Considera las siguientes matrices A = 

ecuación matricial AXAt − B =
2 I , donde I es la matriz identidad deorden 2 y At es la matriz
traspuesta de A.

 −3 1 
 y B= A − kI , donde k es una constante e I es la matriz
 2 −1

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1

8. Se consideran las matrices A = 

identidad de orden 2.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
b) Calcula B −1 para k = −1 .
βI .
c) Determina las constantes α y β para las que se cumple A2 + α A =

IES ANTONIO MACHADOROSARIO HERNÁNDEZ

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MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE ECUACIONES
3 7
 1 −3 
9. Dadas las matrices A = 
 y B=

1 2
 −4 2 
a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.
b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA= A + 2 B
AY= A + 2 B .

y

0 0 1 
 0 0 1




10. Se consideran las=
matrices A =
01 0  B  x 1 0  calcula la matriz inversa de A. Calcula
1 0 0 
 y 0 0 
A127 , A128 . Determina x e y para que A ⋅ B = B ⋅ A
0 0
 3 1
 5 −2 
 y B=
 , siendo A = 
.
 −2 −1
0 0
1 3 
2 1 
0 1 0
 1 2 0
12. Sean las matrices A = 
 , B=
 y C =

 3 −2 
 3 −1 2 
 −1 1 4 
11. Halla la matriz X que cumple que A ⋅ X ⋅ A − B =


a)¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala
b) Determina la matriz X que cumple que A ⋅ X + C ⋅ B t = B ⋅ B t

 0 0 −1

.
13. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =
 −1 1 −1
1 0 b


2
a) Determina el valor de b para el que A − 2 A + I =
O.
b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A ⋅ X − 2 At =
O , donde At denota la matriz
transpuesta de A.
 −1 3 0 
 10 3
14. Resuelve AB t X = −2C , siendo B t la traspuesta de B y A = 
 y
, B = 
 0 2 −2 
 2 −1 0 
1 4 
C =

 0 −1

 −3 
2

15. Considera las matrices
=
A =
, B

1) y C
(2 =

a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C .

 −1 −2 


6 6
 x
 y

 x
 y

b) Calcula, si existen, los números x e y que verifican. C   = 3   .a 1 
 , siendo a un número real.
 0 −a 
12 −1 
a) Calcula el valor de a para qué A2 − A =

.
 0 20 
b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At .

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2

16. Considera A = 

c)

¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta

IES ANTONIO MACHADO

ROSARIO HERNÁNDEZ

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