Çinductanmcia
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Publicado: 21 de enero de 2013
MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( http://www.geocities.com/ajlasa )
El propósito central de la economía como ciencia es el estudio de la asignación óptima delos recursos escasos. Esta definición de la economía encaja muy bien con el tema matemático de optimización (maximización o minimización) restringida: la búsqueda de un óptimo (máximo o mínimo) sujetoa una restricción. El consumidor trata de maximizar una función de utilidad condicionada por la restricción presupuestal; el empresario capitalista trata de maximizar una función de ganancia con larestricción de la disponibilidad de sus recursos.
El método para resolver este tipo de problemas fue desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Esta nota presenta la estructuramatemática más simple de los problemas de optimización con restricciones y la solución conocida como “método de multiplicadores de Lagrange”.
Método de Lagrange
La estructura más simple quepodemos plantear consiste en una función objetivo (la función para la cual se busca un máximo o mínimo) de dos variables independientes y una función de restricción en esas mismas variables la cualformaliza cierta condición que deben cumplir. Se trata de un óptimo condicionado. En general, la función objetivo puede tener n variables independientes y pueden existir m funciones de restricción (m < n).La función de restricción se plantea en la estructura más simple como una igualdad; en algunos problemas de mayor complejidad, la restricción puede ser una desigualdad.
Función objetivo con dosvariables independientes y una restricción de igualdad. Se tiene una función objetivo z = f ( x , y ) y una función de restricción c = g ( x , y ) . Supongamos que se quiere maximizar z al tiempo que secumple la restricción. Esto es:
1
max f ( x , y ) s. a g ( x, y) = c
(1)
El método de Lagrange consiste en formular una nueva función, la función Lagrangeana:
L( x , y , λ ) = f ( x...
El propósito central de la economía como ciencia es el estudio de la asignación óptima delos recursos escasos. Esta definición de la economía encaja muy bien con el tema matemático de optimización (maximización o minimización) restringida: la búsqueda de un óptimo (máximo o mínimo) sujetoa una restricción. El consumidor trata de maximizar una función de utilidad condicionada por la restricción presupuestal; el empresario capitalista trata de maximizar una función de ganancia con larestricción de la disponibilidad de sus recursos.
El método para resolver este tipo de problemas fue desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Esta nota presenta la estructuramatemática más simple de los problemas de optimización con restricciones y la solución conocida como “método de multiplicadores de Lagrange”.
Método de Lagrange
La estructura más simple quepodemos plantear consiste en una función objetivo (la función para la cual se busca un máximo o mínimo) de dos variables independientes y una función de restricción en esas mismas variables la cualformaliza cierta condición que deben cumplir. Se trata de un óptimo condicionado. En general, la función objetivo puede tener n variables independientes y pueden existir m funciones de restricción (m < n).La función de restricción se plantea en la estructura más simple como una igualdad; en algunos problemas de mayor complejidad, la restricción puede ser una desigualdad.
Función objetivo con dosvariables independientes y una restricción de igualdad. Se tiene una función objetivo z = f ( x , y ) y una función de restricción c = g ( x , y ) . Supongamos que se quiere maximizar z al tiempo que secumple la restricción. Esto es:
1
max f ( x , y ) s. a g ( x, y) = c
(1)
El método de Lagrange consiste en formular una nueva función, la función Lagrangeana:
L( x , y , λ ) = f ( x...
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