1. La geometría de las funciones con variable real.

DIFERENCIACIÓN
1. La geometría de las funciones con variable real.
Cuando se habla de geometría, lo primero que se nos viene a la mente son representaciones gráficas de objetos, en este caso dichos objetos son las funciones de variable real, por lo tanto esta sección será dedicada a introducir métodos de visualización de las mismas, entre ellos están las gráficas, curvas de nivel y superficiesde nivel.

Comenzamos definiendo lo que es una función. Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto de A de Rn y cuya imagen esté contenida en Rm. con esto, damos a entender que para cada vector x = (x1,…,xn) de n coordenadas que se encuentra en A, f le asigna un valor f(x), el cual está representado por otro vector de m coordenadas. Estas funciones son llamadas vectoriales si m > 1, yfunciones escalares si m = 1.

Ahora, para una función f que va de U contenido en R y se tiene contradominio R (n = m = 1), la gráfica de f es un subconjunto de R2 (R x R) que va a constar de los puntos (x, f(x)) en el plano. Este subconjunto se puede pensar como una curva en R2 representada simbólicamente por:



En un caso general, la gráfica de una función esta definida, en símbolos, de lasiguiente manera:



De manera práctica, para el caso n = 1, la gráfica es una simple curva en R2, mientras que para n = 2 es una superficie en R3. Para n > 2, la gráfica resulta difícil de visualizar debido a los impedimentos de nuestra naturaleza tridimensional. Para el caso particular de n = 3 (e incluso, para n < 3) se puede utilizar la idea de curva o conjunto de nivel. Supongamos unafunción . Un conjunto de nivel es un subconjunto de R3 para el cual la función f es una constante; es decir, es un conjunto de nivel para f y se puede visualizar fácilmente como una esfera. Dichos conjuntos ayudan a tener mejor entendimiento del comportamiento o estructura de una función. En el caso que trabajamos con funciones de dos variables, se tienen las llamadas curvas de nivel.
La ideadetrás de esto es la misma que se utiliza para preparas mapas de contornos que vemos en el ámbito topográfico para representar altitudes constantes de un terreno cualquiera.
Obtenemos ahora una definición importante. Sea y sea . El conjunto de nivel del valor a se define como aquellos puntos para los cuales f(x) = a. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel; y si n = 3, hablamos de una superficie denivel. Simbólicamente, esto es:



2. Límites y continuidad.
El concepto de continuidad está íntimamente relacionado con el concepto de límite. En este trabajo vamos a tratar este tema haciendo uso de funciones escalares y vectoriales. Comenzando con las funciones escalares, decimos que una función escalar es continua en u si . De manera más rigurosa, esto quiere decir que si para todonúmero positivo ε, existe un δ (que depende de este) de forma que:



Esto quiere decir que dado un incremento muy pequeño a la función φ, esta no varía mucho del valor original. En términos de análisis, se puede ver al valor u como un punto de acumulación en el espacio R.

Cuando hablamos ahora de continuidad de funciones vectoriales, haremos énfasis en funciones de R3. Consideramos una funciónvectorial en R3 como , esta función es continua si cada una de sus funciones escalares Ri son continuas en el sentido de la definición anterior.

3. Diferenciación.
En este tema hablaremos de las propiedades necesarias para que una función de carácter vectorial sea diferenciable. Para estos fines, comenzamos con la definición de derivada parcial.

Nuevamente, sea una función de valoresreales. Entonces, las derivadas parciales de f respecto de la primera, segunda,…, n-ésima variable, son las funciones con varoles reales de n variables que, en un punto x, se definen como



En otras palabras, es la derivada de f respecto a xj con las otras variables fijas. Bajo este argumento, es la manera en que se operan las derivadas parciales, se trabajan como derivadas comunes tomando las...