1 Tarea Multi

Universidad de La Frontera
´n
Facultad de Ingenier´ıa Ciencias y Administracio
´ tica y Estad´ıstica
Departamento de Matema

Primera Tarea C´
alculo Multivariable.
Esta tarea es en pareja oindividual. Entrega en hoja carta, lunes 11 de noviembre en
clases.
1. Halla el punto m´as pr´oximo y m´as lejano de la esfera x2 +y 2 +z 2 −2x−4y−6z−178 = 0
al punto (5, −2, −1).
2. Sea f (x, y) =
f.

ln(64 −x2 − y 2 )
+
y 2 + 2y + 5

4 − (x − 6)2 . Determina y grafica el domino de

3. C´alcula los siguientes l´ımites:
x3 + x2 − 2y 3 + y 2
(x, y)→(0, 0)
x2 + y 2
x2 − y 2 + xz − yz
b)
l´ım
(x, y, z)→(a,a,−2a) x2 + xz − y 2 + yz
a)

l´ım

4. Sea f el campo escalar de dos variables definido por

sen(x2 + y 2 )


si (x, y) = (0, 0)

2 + y2
tan
x
f (x, y) =



0
si (x, y) = (0, 0)

a) Determinadominio del campo escalar.
b) Estudie la continuidad de f

c) Analiza continuidad de fx en el origen.
5. Sea f : R2 → R diferenciable y h = f (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z), con u = x2 + y 2 + z 2 ,
v = x+ y + z. Demuestre que
2

||∇h|| = 4u

∂f
∂u

2

∂f ∂f
+ 4v
+3
∂u ∂v

∂f
∂v

6. Sea z : R2 → R de clase C 2 , se define el Laplaciano de z como
∆z =

∂ 2f
∂ 2f
+
.
∂x2
∂y 2

Determine una expresi´onpara ∆z en coordenadas polares.
´
CALCULO
MULTIVARIABLE, UFRO

2

7. Considere la ecuaci´on xyz = x + y + z
a) Verifique que existe una funci´on diferenciable z = z(x, y) definida impl´ıcitamente
porla ecuaci´on en un entorno del punto (1, 21 , −3)
∂z ∂z
y
en el punto (1, 21 , −3)
∂x ∂x
c) Halle dz

b) Halle

d) Encuentre la ecuaci´on del plano tangente a la superficie definida por la ecuaci´onen el punto (1, 12 , −3)
8. Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 8x3
b) f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 − xyz
9. Hallar los m´aximos y m´ınimosabsolutos de las siguientes funciones, en los conjuntos
indicados.
a) f (x, y) = x2 +y 2 −xy+x+y, en A = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y ≤ 0, x+y ≥ −3}
b) f (x, y) = (x−3)2 +y 2 , en A = {(x, y) ∈ R2 | x ≤...