129972 CORRECCION TALLER N2 MATB0020 II2015

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROF.:luis orozcofuenzalida
CORRECCIÓN TALLER Nº2 DE MATEMÁTICAS MATB0020-21048 (PRIMAVERA 2015)
1.- Realice una representación endiagrama de Venn del resultado de las operaciones,
en cada caso:
a) ÐE  FÑ  ÐE  FÑ

b) E  ÐF  G Ñ c) ÐE  FÑ  G d) E-  ÐF -  G Ñ-

Solución:
a)

b)

c)

d)
1

2.- Demuestre por inducción que laproposición dada es verdadera, para cada entero
positivo 8:
b) !#5 œ # † Ð#8  "Ñ

c) !

8

#

a) 8  8 es par

8

5œ"

#

5œ"

"
8
5Ð5  "Ñ œ 8  "

#

Solución: a) 8  8 es par, es equivalente adecir que 8  8 es múltiplo de # o que
existe un entero positivo : tal que, 8#  8 œ #:. Por lo tanto:
T Ð8Ñ À 8#  8 œ #:, para : un entero positivo.
1º Por demostrar que T Ð"Ñ es verdadero. En efecto,"#  " œ "  "
œ #
œ #†"
y : œ ", es un entero positivo.
2º Hipótesis de inducción: Supongamos que T Ð8Ñ es verdadero; es
decir, aceptemos como verdadero que existe un entero positivo : tal
que, 8# 8 œ #:.
3º Tesis de inducción: Por demostrar que T Ð8  "Ñ es verdadero; es
decir, por demostrar que existe un entero positivo ; tal que,
Ð8  "Ñ#  Ð8  "Ñ œ #;.
Demostración:
Ð8  "Ñ#  Ð8  "Ñ

œœ
œ
œ
œ

8#  #8  "  8  "
Ð8#  8Ñ  #8  #
#:  #8  #
#Ð:  8  "Ñ
#;

y ; œ :  8  " es un entero positivo.
4º Por lo tanto, 8#  8 es par, para cada entero positivo 8.
2

b) T Ð8Ñ À !#5 œ # †Ð#8  "Ñ
8

5œ"

1º Por demostrar que T Ð"Ñ es verdadero. En efecto,

!# 5
"

œ

#"

œ
œ

#
# † Ð#"  "Ñ

5œ"

2º Hipótesis de inducción: Supongamos que T Ð8Ñ es verdadero; es
decir:

!#5 œ # † Ð#8 "Ñ
8

5œ"

3º Tesis de inducción: Por demostrar que T Ð8  "Ñ es verdadero; es
decir,

!#5 œ # † Ð#8"  "Ñ
8"

5œ"

Demostración:

!# 5
8"

!#5  #8"
8

œ

5œ"

5œ"

œ
œ
œ
œ

Š# † Ð#8  "Ñ‹  #8"#8"  #  #8"
# † #8"  #
# † Ð#8"  "Ñ

4º Por lo tanto, !#5 œ # † Ð#8  "Ñ, para cada entero positivo 8.
8

5œ"

3

c) T Ð8Ñ À ! 5Ð5  "Ñ œ 8  "
8

"

8

5œ"

1º Por demostrar que T Ð"Ñ es...