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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.

3. Operaciones con funciones.
En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente estamos interesados en la composición de funciones y en la inversa de una función dada.
Como los números, las funciones se pueden sumar,multiplicar y dividir. Dadas dos funciones f y
f
g , se definen las funciones suma f + g , producto f ⋅ g y cociente
mediante las igualdades
g

( f + g ) ( x) := f ( x) + g ( x),
( f ⋅ g ) ( x) := f ( x) ⋅ g ( x),
⎛ f ⎞
f ( x)
, siempre que g ( x) ≠ 0.
⎜ ⎟ ( x) :=
g ( x)
⎝g⎠

Recuerda que si las funciones f y g son derivables, entonces la suma, el producto y el cociente
(salvo que se anule eldenominador) son también funciones derivables y se verifica que

(f

+ g )′ ( x) = f ′( x) + g ′( x),

( f ⋅ g )′ ( x) =

f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x),

⎛ f ⎞′
f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
, siempre que g ( x) ≠ 0.
⎜ ⎟ ( x) =
g ( x)2
⎝g⎠
Composición de funciones. La composición es otra forma de combinar funciones para obtener
otras nuevas.

DEFINICIÓN. Si f y g son dos funciones, la funcióncomposición f D g ( f compuesta con g ) está
definida por f D g ( x) := f ( g ( x) ) . El domino de f D g consiste en los puntos x del dominio de la
función g de forma que g ( x) pertenece al domino de la función f .
Observa el siguiente gráfico.

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MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.

EJEMPLO.Consideremos las funciones f ( x) = x y g ( x) = x + 1. Entonces

1.

f D g ( x) = f ( g ( x) ) = g ( x) = x + 1, cuyo dominio es el intervalo [ −1, ∞ ) .

2. g D f ( x) = g ( f ( x) ) = f ( x) + 1 = x + 1, cuyo dominio es el intervalo [ 0, ∞ ) .
3.

f D f ( x) = f ( f ( x) ) =

f ( x) =

1

x = x 4 , cuyo dominio es el intervalo [ 0, ∞ ) .

4. g D g ( x) = g ( g ( x) ) = g ( x) + 1 = x + 2, cuyo dominio esel intervalo ( −∞, ∞ ) .
La fórmula que permite calcular la derivada de la composición de dos funciones derivables f y g
se llama regla de la cadena y afirma que la derivada de la composición f D g se obtiene multiplicando las derivadas f ′ y g ′ de las funciones f y g evaluadas en puntos adecuados. De forma
más precisa tenemos
TEOREMA (REGLA DE LA CADENA). Sean f y g dos funciones y sea x en eldomino de la composición f D g. Si la función g es derivable en el punto x y la función f es derivable en el punto
u := g ( x), entonces la función composición f D g es derivable en el punto x y se verifica que

( f D g )′ ( x) =

f ′(u ) ⋅ g ′( x) = f ′ ( g ( x) ) ⋅ g ′( x).

Función inversa. La función inversa de una función dada f es aquella que invierte el efecto de la

función f . Porejemplo, para la función h( x) = x sabemos que h(4) = 2. La función inversa sería
aquella función h −1 de forma que h −1 (2) = 4. Como sabes, esta función es h −1 ( x) = x 2 . Sin embargo, existen funciones, como f ( x) = x 2 o g ( x) = sen x, que asignan el mismo valor a diferentes
puntos de su dominio. Para estas funciones, a priori, no es posible asignarle una función inversa.
Debemos precisar algomás.

DEFINICIÓN. Una función f se dice que es inyectiva en un intervalo I si f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) siempre
que x1 ≠ x2 son puntos de I .
Para una función inyectiva es posible definir la función inversa.
DEFINICIÓN. Supongamos que f es una función inyectiva definida en un intervalo I cuya imagen
es el conjunto J . Se define la función inversa f −1 para cada punto y ∈ J mediante f −1 ( y ) := x ∈ I
si ysólo si f ( x) = y.
OBSERVACIÓN. Las imágenes y los dominios de f y f −1 se intercambian. Además tenemos las
siguientes igualdades

( f D f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = x,
( f D f ) ( y ) = f ( f ( y ) ) = y,
−1

−1

−1

−1

x∈ I,
y ∈ J.

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Lección 1. Funciones y derivada.

Una función creciente en...