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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2014

MAT1012 - Ejercicios de Polinomios
1. Grafique, complete cuadrados y determine elm´aximo o m´ınimo de:
a) 2x2 − x + 5.
b) −4x2 + 3x + 1.
√
c) 12x2 − x − 1.
2. Determine dos n´
umeros reales tal que su producto sea m´aximo y su suma sea 8.
3. Calcule:
a) P (3/4) si P (x) = −3x3 + 6x2 −x + 1
b) P (−3) si P (x) = −2x4 + 6x3 − x2 + 2
4. Pruebe que:
a) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 es divisible por x + 2.
b) x5 − 3x4 + x2 + 2x − 3 es divisible por x − 3.
5. Si a = b y p(x) es divisible por(x − a) y por (x − b) pruebe que p(x) es divisible por
(x − a)(x − b).
6. Divida:
a) x7 + 3x6 + 2x2 + 3x2 − x + 1 por x4 − x + 1
b) x5 − 3x2 + 6x − 1 por x2 + x + 1
c) (x + 1)7 − x7 − 1 por (x2 + x +1)2

7. Encuentre el cuociente y el resto al dividir:
a) 2x4 − 6x3 + 7x2 − 5x por x + 2

1

b) −x4 + 7x3 − 4x2 por x − 3
c) (n − 1)xn − nxn−1 + 1 por (x − 1)2
8. Encuentre los valores de a y b, demanera que 3x3 − 4x2 + ax + b sea divisible por x2 − 1.
9. El resto cuando x2 − 3x + 2 divide a: a x4 + bx3 − 18x2 + 15x − 5 es 4x − 7 . Demuestre que
a = 1 y b = 4.
10. Demuestre que, si ax3 + bx2 + cx+ d tiene a (x − 1)2 como factor, entonces b = d − 2a y
c = a − 2d.
11. Si el polinomio x4 +px3 +qx2 −18x−12 se divide por (x+1)(x+3) el resto es 2x+3. Determine
p y q.
12. Pruebe que las ra´ıces dex2 + x + 1 satisfacen la ecuaci´on x6 + 4x5 + 3x4 + 2x3 + x + 1 = 0.
13. Determine todas las ra´ıces del polinomio p(x) = x4 − 6x3 + 10 x2 + 2 x − 15 sabiendo que 2 − i
es una ra´ız de p(x).
14.Determine todas las ra´ıces del polinomio p (x), sabiendo que gradp (x) = 4, que x3 + x2 es un
factor de p (x), que p (1) = 2 y que p (−1) = 1.
15. Pruebe que las ra´ıces de x2 + x + 1 satisfacen laecuaci´on x6 + 4x5 + 3x4 + 2x3 + x + 1 = 0.
16. Determine todas las ra´ıces del polinomio p(x) = x4 − 6x3 + 10 x2 + 2 x − 15 sabiendo que 2 − i
es una ra´ız de p(x).
17. Determine todas las ra´ıces del...