14 N

11.- Hallar un punto en la recta 3x+y+4=0 que equidista de los puntos (-5,6) y (3,2)
Despejamos "y" de la ecuación de la recta conocida:
3x + y + 4 = 0
y = -3x - 4
Ahora bien, sabemos que el punto (x₁, y₁) buscado está en esa recta, y que su distancia a (-5, 6) es la misma distancia que a (3, 2). Entonces las coordenadas del punto serán:
(x₁, -3x₁ - 4)
Apliquemos la fórmula de la distanciaentre 2 puntos para hallar las dos distancias mencionadas antes: D₁ para la distancia del punto buscado a (-5, 6), y D₂ para la distancia del punto buscado a (3, 2).
D₁ = √{ [ x₁ - (-5) ]² + (-3x₁ - 4 - 6)² }
D₁ = √[ (x₁ + 5)² + (-3x₁ - 10)² ]
D₂ = √[ (x₁ - 3)² + (-3x₁ - 4 - 2)² ]
D₂ = √[ (x₁ - 3)² + (-3x₁ - 6)² ]
Igualamos las 2 distancias:
D₁ = D₂
√[ (x₁ + 5)² + (-3x₁ - 10)² ] = √[ (x₁ -3)² + (-3x₁ - 6)² ]
elevamos ambos miembros al cuadrado:
{ √[ (x₁ + 5)² + (-3x₁ - 10)² ] }² = { √[ (x₁ - 3)² + (-3x₁ - 6)² ] }²
(x₁ + 5)² + (-3x₁ - 10)² = (x₁ - 3)² + (-3x₁ - 6)²
Desarrollamos los cuadrados:
x₁² + 10x₁ + 25 + 9x₁² + 60x₁ + 100 = x₁² - 6x₁ + 9 + 9x₁² + 36x₁ + 36
10x₁ + 25 + 60x₁ + 100 = - 6x₁ + 9 + 36x₁ + 36
70x₁ + 125 = 30x₁ + 45
40x₁ = -80
x₁ = -80 / 40
x₁ = -2
Yahemos encontrado la coordenada "x" del punto buscado. Ahora reemplazamos este valor en la ecuación de la recta para hallar su coordenada "y":
y₁ = -3(-2) - 4
y₁ = 6 - 4
y₁ = 2
Así, el punto buscado es (-2, 2)
12.- Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1,-6) y cuyo producto de coordenadas es el origen de 1.
Todas las rectas que pasan por (1, -6) tienen como ecuación
y – (-6)= m(x-1) [i]
Donde m es la pendiente. Para cada m se obtiene una recta de las que pasan por (1,-6)
Las rectas [i] cortan a:
-- El eje OX (haciendo y = 0) en
6 = mx – m, x = (6+m)/m
-- En eje OY (haciendo x = 0) en
y + 6 = -m, y = -m - 6
Y el producto de ambas ha de ser 1 luego
(6+m)/m • (-6-m) = 1
(6+m)(6+m) = -m
36 + m^2 + 12m = -m
m^2 + 13 m +36=0
m = (-13 ± raíz (13^2 – 4•36))/2,
m= -9, m=-4
Luego las rectas pedidas son
y – (-6) = -9(x-1), ó y + 6 = -9x + 9, 9x + y – 3=0
y – (-6) = -4(x-1) ó y + 6 = -4x+4, 4x + y + 2 = 0



13.- Hallar la ecuación de la recta abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la recta 3x+4y-10=0
a) Toda recta tiene una ecuación que puede ser escrita de la siguiente forma .
y = m x + b ( 1 )
Donde : m es la pendiente de la recta
b esel punto donde la recta corta al eje Y
b) Vamos a encontrar la pendiente ( m ) de la recta :
3 x + 4 y -- 10 = 0
4 y = -- 3 x + 10
y = x + 4 ....... 4
c) Comparando con la ecuación ( 1 ) diremos que la pendiente de la recta es ( m = -- 3/4 )
d) Cuando dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es ( -- 1 )
e) Luego, la pendiente de la recta buscada es : m = 4/3
f) Paracalcular el valor de ( b ) remplazamos en la ecuación de la recta las coordenadas ( --3/7, 0 )
y = m x + b ............ ( 1 )
4 ..... 3
0 = --- ( -- --- ) + b
3 ..... 7
4
0 = -- --- + b
7
.4
b = 7
g) La ecuación de la recta buscada es :
y = m x + b( 1 )
4.. .4
y = x +3... 7
Eliminando denominadores:
21 y = 28 x + 12
Ordenando
28 x -- 21 y + 12 = 0
14.- Hallar la ecuación de laperpendicular a la recta 2x+7y-3=0 en su punto de intersección con 3x-2y+8=0
La perpendicular a la recta 2x+7y-3=0
1) despejamos y
2x + 7y - 3 = 0
7y = - 2x + 3
y = -2/7x + 3/7 para que sea la perpendicular debes tener la pendiente inversa y opuesta
Pendiente de la perpendicular es m=7/2
2) hallamos el punto de intersección entre las dos rectas
2x + 7y - 3 = 0
3x - 2y + 8 =0
Remplazamos en lasegunda ecuación el valor de y de la primera ecuación
3x -2y + 8 =0
3x - 2(- 2/7x + 3/7) + 8 = 0 despejamos "x"
3x + 4/7x - 6/7 + 8 = 0
25/7x = + 6/7 - 8
25/7x = - 50/7
x = - 50/7 : 25/7
x = - 2
Ahora en la primera ecuación despejada remplazamos el valor de x para encontrar el valor de "y"
y = - 2/7x + 3/7 donde x=-2
y = -2/7(-2) + 3/7
y = 4/7 +3/7
y = 7/7
y=1
entonces el punto...