140 FuncionesDosVariables

Univ. de Alcal´
a de Henares
C´
alculo. Segundo parcial.

Ingenier´ıa de Telecomunicaci´
on
Curso 2004-2005

Funciones de dos variables. Gr´
aficas y superficies.
Puede ser conveniente la visualizaci´
on en pantalla o el uso de una impresora en color para
algunas figuras

1.

Funciones de dos variables. Gr´
aficas

La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de unavariable,
f :R→R
El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas
funciones se representan a menudo mediante el s´ımbolo:
z = f (x, y)
(esta mezcla de notaci´on z y f es com´
un).
Es posible representar gr´aficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su gr´
afica:
graf(f ) = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y)
Esta gr´afica es, hablandoinformalmente, una superficie en R3 : sobre cada punto (x, y) del plano
xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´agenes
de todos los puntos (x, y) de U es la gr´afica de f .
Ejemplo 1.1. El ejemplo m´
as sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un
polinomio de grado 1, de la forma:
z = f (x, y) = ax + by + c,

con a, b, cconstantes

Esta funci´
on tan sencilla tiene, naturalmente una gr´
afica sencilla. La gr´
afica est´
a formada por
los puntos del plano
z = ax + by + c

1

Naturalmente, si se consideran funciones m´as complicadas sus gr´aficas se corresponden con
superficies m´as complejas que el plano.
Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´
on
1

1

1

1

f (x, y) = (3/2)e 1+(x−1)2 +(y−1)2 −(5/2)e 1+(1/4)(x+1/2)2+(1/36)(y−1)2 +2e 1+(x−2)2 +(y−2)2 +2e 1+(x−1)2 +(y+1)2
tiene una gr´
afica con este aspecto:

Como puede verse en este ejemplo, en general una gr´afica se corresponde a una superficie con
un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc´etera. Uno de nuestros objetivos es
ser capaces de identificar y describir esas caracter´ısticas de la gr´afica, al igual que hemos hecho
en el caso de lasfunciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la
gr´afica se corresponden con los m´aximos locales de la funci´on z = f (x, y), y en las aplicaciones
resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m´aximos con
tanta precisi´on como se desee.

2.

Curvas de nivel

Hemos comparado la gr´afica de una funci´on z = f (x, y) con un paisajecon un cierto relieve. En cartograf´ıa se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna
informaci´on tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se
muestra una parte de un mapa cartogr´afico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en
el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.

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En la esquina superior izquierda deeste mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´on
geol´ogica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´ıcito la idea de
curvas de nivel. He aqu´ı una foto de ese pico:

Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´afica con planos horizontales situados a distintas
alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´afica (la del ejemplo previo) cortada condos
planos horizontales a distintas alturas.

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Si cortamos la gr´afica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas
situadas sobre la gr´afica:

Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gr´afica, el
paisaje, desde arriba, a vista de p´ajaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas
de nivel de esta gr´afica:

Con algode entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas para
deducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa.
4

2.0.1.

Ecuaci´
on de las curvas de nivel

Un plano horizontal tiene por ecuaci´on: z = c con c constante La intersecci´
on de la gr´afica
de f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) = c....