17

TRILCE

Capítulo

17
Progresión aritmética (P.A.)

PROGRESIONES
3.

Número de términos (n)

Es aquella sucesión ordenada en la que cada término,
excepto el primero, es igual al término anterior aumentado
en un valor constante llamado razón de la progresión.
Representación de una P.A.

n

4.

a n  a1
r

1

Términos equidistantes de los extremos
( a x y ay )

 a1 . a 2 . a 3 . ...... . a n
 a1. a1  r . a1  2r . ....... . a1  (n  1) r

 a1 . ... . a x . ... . a y . ... . a n

Donde :

"m" términos


.
a1

= Inicio de la P.A.

an

= Término n-ésimo

n

= número de términos

r

= razón de la P.A.

"m" términos

a x  a y  a1  a n

= Separación de términos
= Primer término

5.

Término central ( a c )
Siendo "n" impar, la P.A. admite término central.

Clases de P.A.

ac 

1.

Si: r > 0, la P.A. es creciente.

2.

Si : r < 0, la P.A. es decreciente.

6.

a1  a n
2

Suma de los "n" primeros términos de una P.A.
( Sn )

Observación :
Si, r = 0, se dice que la progresión aritmética es trivial.

6.1.

 a  an
Sn   1

2


6.2.

 2a  (n  1) . r 
Sn   1
 .n
2



Propiedades de una P.A.
Dada la siguiente progresión aritmética,

 a1 . a 2 . a 3 . ...... . a n 1 a n


.n



se cumple :

Medios Aritméticos

1.

Son los términos de una P.A. comprendido entre sus
extremos, veamos un ejemplo :

Razón (r)

r  a 2  a1  a 3 a 2  ....  a n  a n 1
2.

Término n-ésimo ( a n )

 3 . 7 . 11. 15 . 19 . 23 . 27 . 31



Medios aritméti cos

a n  a1  (n  1) r
189

Álgebra
Interpolación de Medios Aritméticos

Clases de P.G.

Consiste en formaruna P.A., para lo cual se debe
conocer los términos extremos y el número de medios que
se quiere interpolar.

1.
2.
3.

Sea la progresión aritmética :

Propiedades de una P.G.

 a . ..........
..........
... . b



Si : q > 1, la PG. es creciente.
Si : 0 < q < 1, la P.G. es decreciente.
Si : q < 0, la P.G. es oscilante.

Dada la siguiente progresión geométrica,

Medios aritméti cos

 t1 :t 2 : t 3 : ...... : t n 1 : t n
Por fórmula :

a n  a1  (n  1) r

Reemplazando :

b = a + (m+1)r

se cumple :
1.

Razón (q)

r  ba
m1

q
Fórmula cuyo nombre es razón de interpolación.
Progresión armónica (P. H.)

2.

t2
t1



t3
t2

 .... 

tn
t n 1

Término n-ésimo ( t n )

Es aquella sucesión ordenada, donde ninguno de
sus términos es cero y los recíprocos de los mismos forman
unaprogresión aritmética.

t n  t1 . q n 1

Si la sucesión :

a1 ; a 2 ; a 3 ; ...... ; a n

3.

Número de términos (n)
Teniendo en cuenta que t n , t y q son positivos.
1

es una progresión armónica, se verifica lo siguiente:

 1 . 1 . 1 . ..... . 1
a1 a 2 a 3
an
Progresión geométrica (P.G.)

n

4.

Log (q)

1

Términos equidistantes de los extremos
( tx y ty )

Es aquella sucesión ordenada enla cual el primer
término es diferente de cero y se caracteriza porque cualquier
término, excepto el primero, es igual al término anterior
multiplicado por un valor constante llamado razón de la
progresión.

 t1 : ... : t x : ... : t y : ... : t n
"m" términos

"m" términos

t x . t y  t1 . t n

Representación de una P.G.

 t1 : t 2 : t 3 : ...... : t n

Log (t n )  Log (t1 )

5.

TérminoCentral ( t c ), siendo "n" impar, la P.G.
admite término central.

 t1 : t1q : t 2q 2 : ...... : t1 q n 1

t c  t1 . t n
Donde :

 = Inicio de la progresión.
:
= Separación de términos.
t1 = Primer término.
t n = Término n-ésimo.
n

= Número de términos.

q

= Razón de la P.G.

190

6.

Suma de los "n" primeros términos de una P.G.
(S )
n

 qn  1 
 ; q  1
Sn  t1 . 
 q 1 



7.Suma límite ( S

Lím

)

Interpolación de medios geométricos

Para P.G. de infinitos términos, es decir en caso de que
n  .
SLím 
8.

t1
1 q

; 1  q  1

Consiste en formar una P.G., para lo cual se debe
conocer los términos extremos y el número de medios que
se quiere interpolar.
Sea la progresión geométrica :

 a : ..........
..........
 ..........
 . : b

Producto de los...