1B 12_Int Aplicaciones

Tema 12

Aplicaciones de la integral.
12.1

´
Areas
de superficies planas.

12.1.1

Funciones dadas de forma expl´ıcita.

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguiente
definici´on:
Definici´
on 12.1 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on continua y positiva, y consideremos la regi´on
R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x= b, el eje de abcisas y la gr´afica
de f (fig 12.1). Entonces el ´area de la regi´on R est´
a definida por
b

A(R) =

a

f (x)dx.

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos
ofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del ´area encerrado por la curva y = f (x).
Si la funci´on es integrable, el inferior de las cotas superiores y el superior delas cotas inferiores
coinciden, luego ese valor debe de ser el valor del ´area.

y = f (x)

R
a

b

Fig. 12.1.
2

Ejemplo 12.2 – Calcular el ´area de la regi´on limitada por la curva f (x) = x3 + 1, los ejes
coordenados y la recta x = 3.
Soluci´on:
La funci´on es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integraci´
on y, por
tanto, el valor del ´area que buscamos vendr´
a dadopor
A(R) =
En nuestro caso, como F (x) =
Barrow para obtener que
A(R) =

3
0

x3
9

3
0

f (x)dx.

+ x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla de

x2
+ 1 dx =
3

x3
+x
9

3

= (3 + 3) − (0 + 0) = 6,
0

nos ofrece el ´area del recinto R de la figura.
Integral de una variable.

139

´
12.1 Areas
de superficies planas.

2

f (x) = x3 +1

1

R
x=3

Cuando la funci´on f : [a, b] −→ IRque limita R, es continua y negativa, es decir, f (x) ≤ 0,
para todo x ∈ [a, b], se tiene que

b
a

f (x)dx ≤ 0, por lo que este valor no representa el ´area de

R como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el ´area de la regi´on R coincide
con el ´area de la regi´on R determinada por la funci´on −f (fig 12.2), por lo que, teniendo en
y = −f (x)

R0
a

b

R
y = f (x)
Fig. 12.2.cuenta las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definici´on.
Definici´
on 12.3 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on continua y negativa. Consideremos la regi´on
R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gr´afica
de f . Entonces el ´area de la regi´on R est´a definida por
A(R) =

b
a

−f (x)dx = −

b
a

f (x)dx.

Observaci´
on 12.4 – Esclaro entonces que para calcular el ´area de regiones planas debe analizarse
el signo de la funci´on en el intervalo de integraci´
on. De no hacerlo as´ı, la parte negativa de la
funci´on “restar´a” el ´area que encierra del ´area encerrado por la parte positiva.
Contraejemplo.- Hallar el ´area encerrado por la funci´on f (x) = sen x, en el intervalo [0, 2π].
El valor

2π

0

sen xdx = − cos x

el´area encerrada por la curva.

2π
0

= (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0, es claro que no representa

R1
π

R2

2π

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´on sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π],
el valor real del ´area encerrado ser´a por tanto
A(R) = A(R1 ) + A(R2 ) =

Integral de una variable.

π
0

sen xdx +

2π
π

− sen xdx = − cos x

π
0

+ cos x

2π
π

= 2 + 2 = 4.

140

´
12.1Areas
de superficies planas.

Ejemplo 12.5 – Hallar el ´area determinada por la curva f (x) = (x−1)(x−2), las rectas x = 0,
x = 52 y el eje de abcisas.
Soluci´on:
f (x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el resto. Luego
2

f (x) = (x−1)(x−2)

R1

R3

R2
2

1

1

A(R) =
Como F (x) =

x3
3

3x2
2

−

0

f (x)dx +

2
1

2.5

−f (x)dx +

5
2

2

f (x)dx.

+ 2x es una primitiva de f (x) en[0, 52 ],

A(R) = (G(1) − G(0)) − (G(2) − G(1)) + (G( 25 ) − G(2)) =

5−4+5+5−4
6

= 76 .

En las definiciones anteriores puede considerarse, que el ´area calculado esta encerrado por
la funci´on y = f (x) y la funci´on y = 0, cuando la f es positiva, y por la funci´on y = 0 y la
funci´on y = f (x), cuando la f es negativa. En ambos casos, se tiene que
A(R) =

b
a

b

f (x)dx−

a

b

0dx =

a...