1BAMA1_SO_ESB03U08

Solucionario

8

Funciones, límites y continuidad
ACTIVIDADES INICIALES

8.I.

Copia y completa la siguiente tabla, expresando de varias formas los conjuntos numéricos propuestos.
Gráfica
4

{4 Ͻ x Ͻ 8}

͉x Ϫ 6͉ Ͻ 2

{Ϫ6 Յ x Յ 0}

͉x ϩ 3͉ Յ 3

(Ϫ1, 3]

{x ʦ R, ؊1 Ͻ x Յ 3}

͉x Ϫ 1͉ Ͻ 2 ʜ {3}

(Ϫϱ, Ϫ7) ʜ (3, ϩϱ)

{x Ͻ Ϫ7} ʜ {x Ͼ 3}

͉x ؉ 2͉ Ͼ 5

3
_7

Valor absoluto

(4, 8)
0

_1

Desigualdad

[؊6,0]

8

_6

8.II.

Intervalo

Calcula la pendiente de las siguientes rectas y el ángulo que forman con el eje positivo de abscisas.
a) x ‫ ؍‬؊3

c) y ؉ 5 ‫ ؍‬؊y

e) 3x ؊ 4 ‫ ؍‬x

b) 2x ؊ y ‫ ؍‬2

d) 3x ؉ 2y ؊ 1 ‫ ؍‬x ؊ y

f) 3y ؉ 5 ‫ ؍‬1 ؉ 2y ؉ x

a) x ϭ Ϫ3. Pendiente: no existe. Ángulo: ␣ ϭ 90Њ
b) y ϭ 2x Ϫ 2. Pendiente: m ϭ 2. Ángulo: ␣ ϭ arctg 2 ϭ 63,43Њ ϭ 63Њ 26Ј 6Љ
5
c) y ϭ ᎏᎏ. Pendiente: m ϭ0. Ángulo: ␣ ϭ 0Њ
2

΂ ΃

2
1
2
2
d) y ϭ Ϫᎏᎏ x ϩ ᎏᎏ. Pendiente: m ϭ Ϫᎏᎏ. Ángulo: ␣ ϭ arctg Ϫᎏᎏ ϭ Ϫ33,69Њ ϭ 146Њ 18Ј 36Љ
3
3
3
3
e) x ϭ 2. Pendiente: no existe. Ángulo: ␣ ϭ 90Њ
f) y ϭ x Ϫ 4. Pendiente: m ϭ 1. Ángulo: ␣ ϭ 45Њ

8.III. Resuelve las inecuaciones siguientes.
a) x2 ؊ 7x ؊8 ഛ 0

b) x3 ؉ 6x2 ؉ 9x Ͼ 0

a) x2 Ϫ 7x Ϫ 8 ϭ (x Ϫ 8)(x ϩ1)

Ϫϱ

Ϫ1

ϩϱ

8

x؉1

Ϫ

ϩ

ϩ

x؊8

Ϫ

Ϫ

ϩ

P(x) ‫( ؍‬x ؉1)(x ؊ 8)

ϩ

Ϫ

ϩ

{x ʦ R tales que Ϫ1 ഛ x ഛ 8} ϭ [Ϫ1, 8]
b) x3 ϩ 6x2 ϩ 9x ϭ x(x2 ϩ 3)2
El factor (x ϩ 3)2 es siempre positivo cuando x
tanto, la solución es:

3, por lo que el signo de x(x2 ϩ 3) depende solo del de x. Por

{x ʦ R tales que x Ͼ 0} ϭ (0, ϩϱ)

EJERCICIOS PROPUESTOS
8.1. Halla el dominio de las siguientes funciones.
1
b) f(x) ‫—— ؍‬
x؊2

a) f(x) ‫ ؍‬x2 ؉ 1

a) Se trata de unafunción cuadrática. Por tanto: D(f) ϭ R.
b) Se trata de una función de proporcionalidad inversa. Por tanto no están en el dominio los valores que anulan el
denominador, en este caso, x ϭ 2: D(f) ϭ R Ϫ {2}.

4

Solucionario

8.2. Obtén el dominio de las siguientes funciones.
a) f (x) ‫“ ؍‬Parte entera del número no negativo x”
b) f (x) ‫؍‬

2
؊ x2ෆ ؊ ͙xෆ
؊1
͙1ෆ

c) f(x) ‫“ ؍‬Distancia de x al entero máspróximo”
a) D(f ) ϭ [0, ϩϱ)
b) Debe ocurrir que 1 Ϫ x2 ജ 0 y que x2 Ϫ 1 ജ 0; por tanto, D(f) ϭ {x ʦ R tales que x2 Ϫ 1 ϭ 0} ϭ {Ϫ1, 1}.
c) D(f ) ϭ R
8.3. Dibuja una posible gráfica para la función y ‫ ؍‬f(x) siendo D(f) ‫[ ؍‬0, 1] ʜ [5, 7] y R(f) ‫[ ؍‬0, 2].
Y
1
O

X

1

8.4. Obtén el dominio y el recorrido de f y g.
a)

b)

Y

Y

f
1

g

O

1

1
O

X

2

X

a) D(f ) ϭ (Ϫϱ, 2) ʜ (2, 3). R(f ) ϭ(Ϫϱ, 3)
b) D(f ) ϭ [0, 1] ʜ [1,5; 2,5] y R(f ) ϭ [Ϫ1, 1]

Población mundial
(millones)

8.5. Dibuja la gráfica de la función que refleja la población mundial del ejemplo de arriba.
6000
5000
3000
1000
1900 1940 1980

Año

8.6. Las siguientes gráficas representan la distancia a casa en función del tiempo. ¿Cuál de ellas refleja mejor la
siguiente situación: “Salí de casa y cuando me di cuenta de quehabía olvidado los apuntes, tuve que volver
a por ellos”?
a) d

O

b) d

t

c) d

t

O

O

t

La gráfica c, porque es en la única en la que se refleja la vuelta a casa por los apuntes.

Mediante una gráfica.

Precio (€)

8.7. Un aparcamiento público tiene una tarifa de 3 euros la primera hora y 2 euros por cada hora o fracción adicional. De entre las formas estudiadas, elige la más conveniente pararepresentar la función que da el precio
del estacionamiento durante las seis posibles horas que puede estar aparcado un coche.

2
O

1

Solucionario

Horas (t)

5

Solucionario
8.8. Dibuja la gráfica de estas funciones.

Ά

2
si x ഛ 1
a) f(x) ‫ ؍‬x
؊x ؉ 2 si x Ͼ 1

b) f(x) ‫ ͉ ؍‬x ؉ 1 ͉ ؉ ͉ x ؊ 1 ͉
c) f(x) ‫ ؍‬x ؉ [x], [x], indica la “parte entera de x”.
Y

b) f (x) ϭ

a)
1
O 1

Ά

Ϫ(x ϩ 1) Ϫ (x Ϫ1) ϭ Ϫ2x si x Ͻ Ϫ1
x ϩ 1 Ϫ (x Ϫ 1) ϭ 2
si Ϫ1 ഛ x ഛ 1
x ϩ 1 ϩ x Ϫ 1 ϭ 2x
si x Ͼ 1

X

1
O 1

c) f (x) ϭ x ϩ [x]

X

Y
1
O 1

X

x
—, g(x) ‫؍‬
8.9. Sean las funciones f(x) ‫— ؍‬
x2 ؊ 1
g
a) ——
h

Y

b) f ‫ ؠ‬g

؉ 3 y h(x) ‫ ؍‬x2 ؊ 4. Calcula la expresión y el dominio de:
͙xෆ

c) g ‫ ؠ‬f

d) f ‫ ؠ‬g ‫ ؠ‬h

g
ϩ3
͙xෆ
a) ᎏᎏ ϭ ᎏ
ᎏ. D(f ) ϭ [Ϫ3, ϩϱ) Ϫ {Ϫ2, 2}
x2 Ϫ 4
h
b) (f ‫ ؠ‬g)(x) ϭ f [g(x)] ϭ f...