1Probema fisica_marion

Maestría en Ciencias en Ingeniería Física.

Examen Parcial
Mecánica Clásica y del Medio Continuo.

Problema 1.
Si un proyectil es disparado desde el origen de un sistema de referencia de
coordenadas con una velocidad inicial

y en una dirección haciendo un ángulo

con la horizontal, calcula el tiempo requerido por el proyectil para cruzar una línea
pasando a través del origen y haciendo unángulo
con la horizontal.

Considerando la segunda ley de
newton como punto de partida
tenemos que

F  ma
la sumatoria de fuerzas en cada eje
está dado por:

 f x  mx  0
 fh

 mÿ  mg

Estimando las componentes de
para la aceleración en el eje

x,

v0
de

acuerdo a la figura 2 tenemos que

mx  v 0 cos
Ahora bien, resolviendo al ecuación diferencial
con condiciones iniciales

x y0

t0

porlo tanto decimos que:
dx
dt

 v0 cos   dx  v0 (cos  )dt

Integrando tenemos

 v dx   t v 0 cosdt
v

t

0

Luis Bernardo López Sosa.

0

UMSNH.

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 x  v 0 tcos
Asimismo para y tenemos análogamente.

y  g

 y  v 0 sin  gt
Integrando con condiciones iniciales tenemos que:

 y dy   t0 v 0 sin  gtdt
y

t

0

de ahí que:

y  tv 0sin  12 gt2
t0

Si suponemos que para llegar al punto P se necita un tiempo

, entonces

y en
expresaremos
y
términos de las componentes de P

x

con un ángulo



.

Por lo tanto, para x, de acuerdo con la
ilustración 3 decimos que:

lcos  v 0 t 0 cos
Y para y tenemos que

lsin  v 0 t 0 sin  12 gt 20
Luego, despejando l en ambas ecuaciones e igualándolas nos queda

l
l

de ahíque
ahora, multiplicando por sin
Luis Bernardo López Sosa.

v 0 t 0 cos 
cos 
v 0 t 0 sin 

v 0 t 0 cos 
cos 

y
gt2
0
2



sin 



v 0 t 0 s i n

gt2
0
2



sin 

UMSNH.

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
sin 
cos 

por identidad

s i n
v 0 t 0 cos c o s

 v 0 t 0 sin 

gt 20
2

 tan

por lo tanto

v 0 t 0 cos tan  v 0 t 0 sin 

gt 20
2

Y reagrupandotodos los términos en un sólo miembro de la ecuación
reescribimos ahora
gt 20

v 0 t 0 cos tan  v 0 t 0 sin 
gt 0
2

Factorizando

2

0

nuestra ecuación se expresa ahora como

gt 0
- 2

2v 0
g

costan 

multiplicando la ecuación anterior por

2v 0
g

2
gt 0

costan 

2v 0
g

sin  t 0  0

tenemos

2v 0
g

sin  t 0  0

y al despejar t 0

t0 
al factorizar

2v 0
g

2v 0
g

costan 

2v 0
g

sin

nuestra ecuación se escribe como

t0  2gv0 sin   cos  tan  
y esta ecuación representa el tiempo requerido para que el proyectil cruce el punto
"P".

Problema 2.
Un proyectil se dispara con una velocidad v 0 , la cual pasa a través de dos
puntos, ambos a una distancia h sobre la horizontal. Demuestra que si el arma es
ajustada para el máximo rango, la separación del puntoes
Luis Bernardo López Sosa.

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v0
g

d

2

v 20  4gh

Inicialmente partiendo de la segunda ley de
newton decimos que:

  ma

F
de ahí que la suma de fuerzas estará dado
por:


F x  F y  ma
entonces la sumatoria de fuerzas en cada
eje está dada por:

F x  0  mx para x. . . . . . . . . . . . . 1

F y  mg

para y. . . . . . . . . . . .. . . . 2
de la ecuación 1 podemos resolver la ecuación diferencial de la siguiente manera:
0  mx



dx
dt

 0   dx  0  x  c  0

x  cte.
aplicando condiciones iniciales decimos que:
en t  0, v 0  v,
y considerando la figura 2.2 tenemos que

x  v 0 cos
Resolviendo nuevamente la ecuación
diferencial tenemos que:

x  v 0 t cos  x 0
pero para x 0  0
por lo tanto

x  v 0 tcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Análogamente para ÿ

de la ecuación 2.1 decimos que

ÿ  g
de ahí que integrando y aplicando condiciones iniciales al cálculo anterior decimos
que:
dy
dt

Luis Bernardo López Sosa.

 g   vo dy    t gdt
v

t

o

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y  gt  y 0
y  v 0 sin

considerando la ilustración 2.2

por lo tanto...