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4. PROBABILIDAD CONDICIONADA
Y EL TEOREMA DE BAYES

¿Cambiar´ıas de puerta?

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Objetivos
Introducir la probabilidad condicionada y su uso en resolver problemas.
Introducir el concepto de independencia. Estudiar las aplicaciones del teorema
de Bayes y la interpretaci´
on subjetiva de la probabilidad.

Para leer
Wikipedia tiene una p´agina u
´til sobre laprobabilidad condicionada.
Est´
a p´
agina da algunos ejemplos del uso del teorema de Bayes.
Los minivideos de Emilio Let´
on y su equipo sobre probabilidad condicionada
son muy u
´tiles.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

La probabilidad condicionada
En el tema 3, seleccionamos un empresario al azar y preguntamos sobre la
probabilidad de que tenga por lo menos dos empresas, suponiendo que fuesequiosquero.

Quiosco
Tipo de establecimiento Fruteria
Bar
Total

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

N´
umero
de empresas
1 2 3 4 Total
25 15 8 5
53
15 6 5 0
26
10 4 5 2
21
50 25 18 7
100

Miramos s´
olo los n´
umeros de empresas de los quiosqueros.
N´
umero
de empresas
1 2 3 4 Total
Quiosco 25 15 8 5
53
Luego, la probabilidad es de

15+8+5
53

=

28
53 .

Esta probabilidad es una probabilidad condicionada:P (tenga por lo menos dos empresas suponiendo que fuese quiosquero)
A

B

Observamos tambi´en que P (A ∩ B) =

28
100

P (A dado B) =

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

y que P (B) =

P (A ∩ B)
.
P (B)

53
100

y entonces

Definici´
on formal
Formalmente, para dos sucesos A y B donde P (B) > 0, se define la
probabilidad condicionada de A dado B como
P (A ∩ B)
P (A|B) =
.
P (B)
Se interpreta laprobabilidad como la probabilidad de A suponiendo que B
haya ocurrido.
Aqu´ı se ve un ejemplo sencillo del c´alculo de una probabilidad condicionada.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Interpretaci´
on con diagramas Venn
A priori, la probabilidad de A equivale al ´area de A ∩ B (en verde) m´as el
¯ (en az´
´area de A ∩ B
ul) dividido por el ´area del espacio muestral (es decir el
tama˜
no de lacaja) que es 1.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Pero si observamos que B ha sucedido, entonces, el tama˜
no muestral se ha
reducido a los sucesos elementales para los cuales B ha ocurrido y luego, la
probabilidad de A es el ´area de A ∩ B partido por el ´area de B.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

La ley de la multiplicaci´
on
En muchas aplicaciones, es u
´til reescribir la f´
ormula para laprobabilidad
condicionada de otra manera
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B).
Esta f´
ormula es conocida como la ley de la multiplicaci´
on.

La ley de la multiplicaci´
on
En muchas aplicaciones, es u
´til reescribir la f´
ormula para la probabilidad
condicionada de otra manera
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B).
Esta f´
ormula es conocida como la ley de la multiplicaci´
on.
Vamos a repartir dos naipes de una barajaespa˜
nola.
probabilidad de que ambos sean oros?

¿Cu´
al es la

La ley de la multiplicaci´
on
En muchas aplicaciones, es u
´til reescribir la f´
ormula para la probabilidad
condicionada de otra manera
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B).
Esta f´
ormula es conocida como la ley de la multiplicaci´
on.
Vamos a repartir dos naipes de una baraja espa˜
nola.
probabilidad de que ambos sean oros?

¿Cu´
al es laPosemos intentar resolver este problema a trav´es de la combinatoria utilizando
la probabilidad hipergeometrica ...

p=

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

10
2

30
0
40
2

= ··· =

10 × 9
3
= .
40 × 39 52

pero es mucho m´as f´acil utilizando la probabilidad condicionada.
Sea A el suceso de que la segunda carta es oro y B el suceso de que el primer
naipe es de oros.

P (A ∩ B) = P (A|B)P (B)
10
= P(A|B) ×
porque en principio hay 40 naipes y 10 oros
40
9
10
×
porque quedan 39 naipes y 9 oros
=
39 40
3
=
52

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Ejemplo
En la evaluaci´
on de un programa de capacitaci´
on de ventas, una empresa
descubri´
o que de los 50 vendedores que recibieron un bono el a˜
no anterior,
20 hab´ıan acudido a un programa especial de capacitaci´
on en ventas. La
empresa tiene...