2

8. Estimaci´on puntual
Estad´ıstica
Ingenier´ıa Inform´
atica

Curso 2009-2010

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

8. Estimaci´
on puntual

Curso 2009-2010

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Contenidos

1

Introducci´on

2

Construcci´on de estimadores
M´etodo de los momentos
M´etodo de m´axima verosimilitud

3

Propiedades de los estimadores
Estimadores insesgados o centrados
Estimadores eficientes
Propiedades de los EMVConsistencia y eficiencia asint´
oticas
Invarianza

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8. Estimaci´
on puntual

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Introducci´
on




on
 estimaci´

puntual
por intervalos de confianza
Inferencia estad´ıstica
sobre par´ametros


otesis
 constrastes de hip´
de Bondad de Ajuste

estimaci´
on de los par´ametros de una distribuci´
on: elegir el valor
(desconocido) de unpar´ametro de la poblaci´
on
constrastes de hip´otesis: decidir entre rechazar o no una hip´otesis
sobre par´
ametros - para determinar si un par´ametro de una
distribuci´
on toma o no un determinado valor
de Bondad de Ajuste - para definir si un conjunto de datos se puede
modelar mediante una determinada distribuci´
on o no

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8. Estimaci´
on puntual

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Introducci´
on

Estimaci´on puntual
Estimaci´on mediante un solo valor de los par´ametros de una distribuci´on.
La estimaci´
on puntual consiste en utilizar el valor de un estad´ıstico para
inferir el par´ametro de una poblaci´
on.
¯ para estimar la media de una poblaci´on µ
usamos la media muestral X
usamos la proporci´
on de una muestra pˆ para estimar la proporci´on
poblacional p

Unestimador de un par´
ametro θ es un estad´ıstico T = T (X1 , ..., Xn )
usado para estimar el valor del par´ametro θ de una poblaci´on.
El valor observado del estad´ıstico t = T (x1 , ..., xn ) es la estimaci´
on de θ,
ˆ
y la representamos por θ.
θ puede ser un solo par´ametro o un conjunto de par´ametros desconocidos
θ = (θ1 , ..., θk )
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on puntual

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Introducci´
on

Los estimadores son variables aleatorias
tienen una distribuci´on de probabilidad, correspondiente a las
distribuciones muestrales
su distribuci´on (media, varianza, etc.) le confiere una serie de
propiedades estad´ısticas (sesgo, m´ınima varianza, consistencia,
eficiencia, suficiencia):
se puede definir la calidad del estimador
se puede comparar con otrosestimadores

no hay ning´
un estimador perfecto: siempre habr´a alg´
un error en el
proceso de estimaci´on
deben estudiarse las distintas propiedades de los estimadores para
decidir cual es el m´
as apropiado...
¿C´omo construir un estimador?

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8. Estimaci´
on puntual

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Construcci´
on de estimadores

M´
etodo de los momentos

Construcci´on deestimadores
Objetivo: construir un estimador del par´ametro poblacional θ = (θ1 , ..., θk )

1. M´etodo de los momentos
los momentos caracterizan una distribuci´
on de probabilidad
si dos variables aleatorias tienen los mismos momentos, entonces
dichas variables tienen o siguen la misma funci´
on de densidad
Podemos emplear los momentos muestrales para estimar los par´ametros,
bas´andonos en laintuici´on de que los momentos de la poblaci´on, αr , se
“parecer´an” a los respectivos momentos de la muestra, ar
Igualamos los k primeros momentos ordinarios de una poblaci´on
a los correspondientes momentos de una muestra

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8. Estimaci´
on puntual

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Construcci´
on de estimadores

M´
etodo de los momentos

1. M´etodo de los momentos (cont.)
r -´esimomomento ordinario ar de una muestra aleatoria (X1 , ..., Xn )
n

Xir
ar =

i=1

n

Entonces si una distribuci´on tiene k par´ametros desconocidos, para su
estimaci´on se tendr´a lo siguiente:
a1 = α1
a2 = α2
...
ak = αk

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Construcci´
on de estimadores

M´
etodo de los momentos

Ejemplo 1. X ≡ Exp(λ):
Sea una...