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TRILCE

Capítulo

2

POLINOMIOS

NOTACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

P(2  7)  2 (2)3  5 (2)  1  16  10  1

Se utiliza para indicar las variables de una expresión.
Ejemplos :
*

PROPIEDADES : para un polinomio P(x).

P(x)  variable : "x".

"P " de x

*

F(x ; y)  variables : x, y..



"F" de xy

*

P (5)  27

 var iables  x ; y ; z
Q(x ; y ; z)  ax  by  cz 
cons tan tes  a ; b ; c
" Q " de xyz

VALOR NUMÉRICO (V.N.)

1.

Suma de coeficientes = P(1).

2.

Término independiente = P(0).

CAMBIO DE VARIABLE
Así como las variables pueden reemplazarse por
números, también pueden ser reemplazadas por otros
polinomios, así tenemos:
1.

Es el resultado que se obtiene al reemplazar las
variables de una expresión algebraica por valores
determinados.

Dado : P(x)= 2x+11 . Obtener P(x+7)
Para obtener lo pedido, se reemplaza :

x por x  7 en P(x).
P(x)  2 x  11



Ejemplo :
1.

x 7

P(5; -2; 3) = 5 2  3 (  2 )( 3 )  7

2.

Dado : P(x  3)  3x  4
Determinar : P(2x 5) .

Determinar P(3), si :

Se reemplaza (x + 3) por (2x - 5) previa preparación
del polinomio como :

P(x) x3  2x10.

P(x+3) = 3(x + 3 - 3)+4

En este caso, se pide el V.N. de P(x) para :

Ahora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+4
Luego : P(2x-5) = 6x - 20

x = 3.

P ( 3 )  3 3  2 ( 3 )  10
P(3) = 23
3.

P(x  7)  2x  25

para : x = 5;

Reemplazando :

2.

P(x  7)  2 (x  7)  11

Determinar el V.N. de la siguiente expresión :
P(x; y; z)  x 2  3yz
y = -2; z = 3

x7

POLINOMIO

P(x  7)  2x3  5x  1

Es toda expresión algebraica racional y
entera. Cuando tiene un términose denomina
monomio, con dos se denomina binomio, con tres
trinomio, etc.

Para este caso, se resuelve la ecuación :
x + 7 = 5; de donde : x = -2.

Recordemos que en una expresión Algebraica
Racional entera :

Al reemplazar :

Ninguna variable está afectada por algún signo radical o
exponente fraccionario.

Determinar P(5), si :

19

Álgebra
Ninguna variable se encuentra en el denominador.POLINOMIOS ESPECIALES

Ejemplo :

1.
2

P(x ; y)  3x  7 y  5 polinomio (trinomio).

Ejemplo :

P(x;y;z) = 2 x  2y  z no es polinomio..

P(x ; y)  2x 4 y 3  x 5 y 2  5 x 6 y
 
 

GRADO :
Es la categoría que se asigna a un polinomio; y
depende de los exponentes de sus variables.
GRADOS DE UN MONOMIO :
Grado Absoluto : es la suma de los exponentes de sus
variables.

Polinomio Homogéneo: cuando sus términos son
de igual grado absoluto.

7

7

7

Homogéneo de grado 7.
2.

Grado Relativo : es el exponente de la variable en
referencia.

Polinomio Completo : cuando tiene todos los
exponentes de la variable en referencia, desde el mayor
hasta el cero incluido.
Ejemplo :
"x" tiene
exponente "1"

Ejemplo : P(x;y)  2a3 x4 y 5

3

"x" tiene
exponente cero

2 4

P(x; y)  2x y  7x y 5 y

G. A. = 5 + 4
G.R. (x) = 4

completo con respecto a "x" .

G.R. (y) = 5

Propiedad : para un polinomio completo P(x).

GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS Ó MÁS
TÉRMINOS :
Grado Absoluto : es el mayor grado absoluto de uno de
sus monomios.
Grado Relativo : es el mayor exponente de la variable en
referencia.

# términos = Grado + 1
3.

Polinomio Ordenado : es aquel cuyos exponentes
de la variableen referencia (ordenatriz) van aumentado
(orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).
Ejemplo :
aumenta

Ejemplo :

4

mayor
3

4 5

P(x;y)  2x y  7x y
Grados

4

9

mayor

6 2

 6x y

3

7

9

P(x; y)  4 x y  6 x y  5 xy

20

ordenado ascendentemente respecto a "y".

8

G.A. = 9
G.R. (x) = 6
G.R. (y) = 5

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Es aquel polinomio cuyos términos presentancoeficientes iguales a cero, como por ejemplo :

P(x)  ax 3  bx 2  c
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si sus términos
semejantes tienen igual coeficiente, así pues :

P(x )  ax 3  bx  c

a = 0; b = 0; c = 0.

Q(x)  mx 3  nx  p

Propiedad : todo polinomio idénticamente nulo tiene valor
numérico igual a cero para cualquier sistema de valores
asignados a sus variables.

son...