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Páginas: 9 (2134 palabras)
Publicado: 2 de julio de 2015
TEOREMA DE THALES
El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad.
El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí.
El teorema deTales afirma:
Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales.
Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, sise trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes:
OP = 2 cm; PQ = 2.5 cm; QR = 3 cm
OU = 3 cm; UV = 3.75 cm; V W = 4.5 cm
Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
También seenuncia que:
Si una recta intersecta a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
El teorema fundamental de semejanza de triángulos, surge como consecuencia del teorema de Tales:
Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante alprimero.
DIVISIONES INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRAZO
División Interior:
Dividir interiormente un trazo significa encontrar un punto P de manera que los segmentos determinados por P estén en una razón dada.
El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón x : y.
Veamos con un ejemplo las dos posibilidades de dividir un trazo interiormente en la razón 2 : 3.
1º Se traza un rayo APcualquiera.
2º Consideremos una unidad “a” cualquiera.
3º Se copia el trazo de medida “a”, dos veces sobre el rayo AP, determinándose el punto M.
4º Se copia, a continuación de M, tres veces el trazo de medida “a” sobre el rayo AP, determinándose el punto N.
5º Se une B con N, como indica la figura.
6º Por M se traza la paralela a BN, lo que determina el punto Q en AB.
7º Q es el punto que divideinteriormente al trazo AB en la razón 2 : 3.
La segunda posibilidad de efectuar la división interior de un trazo es a través de los siguientes pasos:
1º Se trazan por A y por B dos paralelas
2º Se copia el trazo de medida “a” , dos veces sobre la paralela en A, determinándose el punto M.
3º Se copia el trazo de medida “a”, tres veces sobre la paralela en B, determinándose el punto N.
4º Se une Mcon N, lo que determina un punto Q sobre el trazo AB.
5º El punto Q divide interiormente al trazo AB en la razón 2 : 3.
División Exterior
Dividir exteriormente un trazo significa encontrar un punto Q, situado en la prolongación del trazo, de manera que los segmentos medidos desde dicho punto a los extremos del trazo estén en una razón dada.
Q divide exteriormente al trazo AB en la razón x :y
Estudiemos esta división exterior de un trazo en base al siguiente ejemplo.
Dividir exteriormente el trazo AB en la razón 5 : 3.
1º Se traza un rayo AP cualquiera.
2º Consideremos un trazo de medida “a”.
3º Se copia el trazo de medida “a”, cinco veces sobre el rayo AP, determinándose un punto que designaremos por M.
4º Se copia el trazo de medida “a” , tres veces sobre el rayo MA,determinándose el punto N.
5º Se une N con B.
6º Por M se traza una paralela a NB, lo cual determina el punto Q sobre la prolongación de AB.
7º El punto Q, divide exteriormente al trazo AB en la razón 5 : 3.
Al igual que la división interior, tenemos otra posibilidad de solución para este ejemplo. Veamos:
1º Se trazan por A y por B dos paralelas.
2º Se copia el trazo de medida “a” , cinco veces sobre...
El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad.
El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí.
El teorema deTales afirma:
Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales.
Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, sise trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes:
OP = 2 cm; PQ = 2.5 cm; QR = 3 cm
OU = 3 cm; UV = 3.75 cm; V W = 4.5 cm
Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
También seenuncia que:
Si una recta intersecta a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
El teorema fundamental de semejanza de triángulos, surge como consecuencia del teorema de Tales:
Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante alprimero.
DIVISIONES INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRAZO
División Interior:
Dividir interiormente un trazo significa encontrar un punto P de manera que los segmentos determinados por P estén en una razón dada.
El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón x : y.
Veamos con un ejemplo las dos posibilidades de dividir un trazo interiormente en la razón 2 : 3.
1º Se traza un rayo APcualquiera.
2º Consideremos una unidad “a” cualquiera.
3º Se copia el trazo de medida “a”, dos veces sobre el rayo AP, determinándose el punto M.
4º Se copia, a continuación de M, tres veces el trazo de medida “a” sobre el rayo AP, determinándose el punto N.
5º Se une B con N, como indica la figura.
6º Por M se traza la paralela a BN, lo que determina el punto Q en AB.
7º Q es el punto que divideinteriormente al trazo AB en la razón 2 : 3.
La segunda posibilidad de efectuar la división interior de un trazo es a través de los siguientes pasos:
1º Se trazan por A y por B dos paralelas
2º Se copia el trazo de medida “a” , dos veces sobre la paralela en A, determinándose el punto M.
3º Se copia el trazo de medida “a”, tres veces sobre la paralela en B, determinándose el punto N.
4º Se une Mcon N, lo que determina un punto Q sobre el trazo AB.
5º El punto Q divide interiormente al trazo AB en la razón 2 : 3.
División Exterior
Dividir exteriormente un trazo significa encontrar un punto Q, situado en la prolongación del trazo, de manera que los segmentos medidos desde dicho punto a los extremos del trazo estén en una razón dada.
Q divide exteriormente al trazo AB en la razón x :y
Estudiemos esta división exterior de un trazo en base al siguiente ejemplo.
Dividir exteriormente el trazo AB en la razón 5 : 3.
1º Se traza un rayo AP cualquiera.
2º Consideremos un trazo de medida “a”.
3º Se copia el trazo de medida “a”, cinco veces sobre el rayo AP, determinándose un punto que designaremos por M.
4º Se copia el trazo de medida “a” , tres veces sobre el rayo MA,determinándose el punto N.
5º Se une N con B.
6º Por M se traza una paralela a NB, lo cual determina el punto Q sobre la prolongación de AB.
7º El punto Q, divide exteriormente al trazo AB en la razón 5 : 3.
Al igual que la división interior, tenemos otra posibilidad de solución para este ejemplo. Veamos:
1º Se trazan por A y por B dos paralelas.
2º Se copia el trazo de medida “a” , cinco veces sobre...
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