25FormulasReduccion

F´
ormulas de reducci´
on
1. Sea una integral, a la que llamaremos I(n), cuyo integrando depende de un par´ametro n ∈ R. Si aplicando alg´
un m´etodo (habitualmente el de integraci´on por partes)podemos expresarla en funci´on de I(n−1), I(n−2), etc, hemos hallado una f´ormula
de reducci´on, v´alida en principio ∀n ∈ R.
Ejemplo: I(n) =

lnn x dx = x lnn x − nI(n − 1).

2. Si el par´ametrotoma s´olo valores naturales, n ∈ N, aplicando sucesivamente la
f´ormula ir´ıamos reduciendo el grado, llegando a I(3), I(2) . . . , que se pueden cal´
cular en funci´on de I(1) e I(0). Estas
seintegran directamente, pues suelen ser
muy sencillas. A veces se observa que se pueden obtener de la f´ormula general.
3. En ocasiones, reiterando el m´etodo, podemos llegar a una f´ormula expl´ıcita quenos da directamente el valor de I(n), aunque suele ser complicado.
Ejemplo:

lnn x dx = x lnn x − n lnn−1 x + n(n − 1) lnn−2 x + · · · + (−1)n n! .

4. Supongamos n ∈ Z− y calculemos, por medio dela f´ormula de reducci´on, I(n) en
funci´on de I(n − 1). Al ser n < 0, esto da lugar a un proceso indefinido. En estos
casos podemos despejar al rev´es, I(n − 1) en funci´on de I(n) o, lo que es lomismo,
I(n) en funci´on de I(n + 1). As´ı, en cada paso aumenta el valor del par´ametro
hasta llegar a I(−1), I(0), que se calculan directamente.
5. Al ser la f´ormula de reducci´on v´alida ∀n ∈ R,podemos obtener la f´ormula de una
integral a partir de la de otra similar, cambiando de signo el par´ametro.
dx
Ejemplo: Sean I(n) = senn x dx; J(n) =
.
senn x
Se cumple J(n) = I(−n) por lo que, siconocemos la f´ormula de reducci´on para
I(n), podemos obtener la de J(n) sin necesidad de calcularla expresamente. Basta
cambiar de signo el par´ametro en la f´ormula de reducci´on de I(n) yoperar.
Si, por ejemplo tenemos I(n) en funci´on de I(n − 1), entonces J(n) (= I(−n))
se puede escribir en funci´on de I(−n − 1) = J(n + 1). Para terminar hemos de
despejar J(n + 1) en funci´on de J(n)....