3 SISTEMAS DE NUMERACI N

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1.1. Sistema Decimal
1.2. Sistema Binario
1.3. Sistema Octal
1.4. Sistema Hexadecimal
1.5. Conversiones
1.6. Ejercicios propuestos
INTRODUCCIÓN
Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre si por su base.
Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base16.      El diseño de todo sistema digital responde a operaciones con números discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su sencillez.
Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica:

Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá queb>1; ai es un número perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai  1.1. SISTEMA DECIMAL
Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es 10.
Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la quepertenece. Veámoslo con un ejemplo:


1.2. SISTEMA BINARIO
Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2
Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de laexpresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

1.3. SISTEMA OCTAL
Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.
Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23  . Así, para convertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado1.5. Conversiones se  estudiará esta conversión.
1.4. SISTEMA HEXADECIMAL.
Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de unnúmero hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.
1.5. CONVERSIONES
CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL
Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dosejemplos:
1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510
101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110
Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en formade tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:





Nº Decimal
Base
Cociente
Resto
107
2
53
1
53
2
26
1
26
2
13
0
13
2
6
1
6
2
3
0
3
2
1
1

10710= 11010112


Cuando tengamos un número con decimales seguiremos el siguiente procedimiento: multiplicaremos por 2 la parte decimal y se toma como dígito binario su parte entera. El proceso se repitecon la fracción decimal resultante del paso anterior, hasta obtener una fracción decimal nula, o bien hasta obtener el número de cifras binarias que se desee. Ejemplo: 107,645. Como anteriormente convertimos 107 a binario, el resultado de la conversión quedaría así:
1101011, 101001012
Fracción decimal
Multiplicado por:
Resultado
Dígito binario
0,645
2
1,290
1
0,290
2
0,580
0
0,580
2
1,160
1...

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